Question

19．若函數f（x）=Asin（$\frac{π}{2}$x+φ）（A＞0）滿足f（1）=0，則（　　）

• A． f（x-2）一定是奇函數
• B． f（x+1）一定是偶函數
• C． f（x+3）一定是偶函數
• D． f（x-3）一定是奇函數

Answer 1

分析 由已知求得φ，分類求出f（x）的解析式，然后利用誘導公式逐一化簡四個函數并判斷其奇偶性得答案．

解答 解：由f（1）=Asin（$\frac{π}{2}$+φ）=Acosφ=0，得φ=$\frac{π}{2}+kπ$，k∈Z．
∴f（x）=Asin（$\frac{π}{2}$x+φ）=Asin（$\frac{π}{2}$x+$\frac{π}{2}+kπ$），k∈Z．
當k為偶數時，f（x）=Acos$\frac{π}{2}x$，
當k為奇數時，f（x）=-Acos$\frac{π}{2}x$．
∴f（x）=Acos$\frac{π}{2}x$或f（x）=-Acos$\frac{π}{2}x$．
f（x-2）=Acos（$\frac{π}{2}x-π$）=-Acos$\frac{π}{2}x$或f（x-2）=Acos$\frac{π}{2}x$，為偶函數；
f（x+1）=Acos（$\frac{π}{2}x+\frac{π}{2}$）=-Asin$\frac{π}{2}x$或f（x+1）=Asin$\frac{π}{2}x$，為奇函數；
f（x+3）=Acos（$\frac{π}{2}x+\frac{3π}{2}$）=Asin$\frac{π}{2}x$或f（x+3）=-Asin$\frac{π}{2}x$，為奇函數；
f（x-3）=Acos（$\frac{π}{2}x-\frac{3π}{2}$）=-Asin$\frac{π}{2}x$或f（x-3）=Asin$\frac{π}{2}x$，為奇函數．
故選：D．

點評 本題考查正弦函數、余弦函數的圖象和性質，考查了誘導公式的應用，體現了分類討論的數學思想方法，是中檔題．