已知橢圓 
x2
a2
+
y2
b2
=1過定點A（1，0），且焦點在x軸上，橢圓與曲線|y|=x的交點為B、C．現(xiàn)有以A為焦點，過B，C且開口向左的拋物線，其頂點坐標為M（m，0），當橢圓的離心率滿足 
2
3
＜e2＜1時，求實數(shù)m的取值范圍．
分析：由橢圓過定點A（1，0），知a=1 ， c=
1-b2
，e=
1-b2
，由
2
3
＜e2＜1，知0＜b＜
3
3
．由對稱性知，所求拋物線只要過橢圓與射線y=x（x≥0）的交點，就必過橢圓與射線y=-x（x≥0）的交點．由此能求出實數(shù)m的取值范圍．
解答：解：∵橢圓 
x2
a2
+
y2
b2
=1過定點A（1，0），
∴a=1 ， c=
1-b2
，e=
1-b2
，
∵
2
3
＜e2＜1，∴
2
3
＜1-b2＜1，
∴0＜b＜
3
3
．
由對稱性知，所求拋物線只要過橢圓與射線y=x（x≥0）的交點，就必過橢圓與射線y=-x（x≥0）的交點．
聯(lián)立方程 
y=x (x≥0)
x2+
y2
b2
=1
，
解得 x=y=
b
1+b2
．
∵0＜b＜
3
3
，
∴0＜x＜
1
2
．
設(shè)拋物線方程為：y2=-2p（x-m），p＞0，m＞1．
∵
p
2
=m-1，
∴y2=4（1-m）（x-m）①
把 y=x，0＜x＜
1
2
代入①，
得x2+4（m-1）x-4m（m-1）=0，m＞1．
令f（x）=x2+4（m-1）x-4m（m-1），m＞1，
∵f（x）在(0 ， 
1
2
)內(nèi)有根且單調(diào)遞增，
∴
f(0)=-4m(m-1)＜0
f(
1
2
)=
1
4
+2(m-1)-4m(m-1)＞0

即
m＞1 或 m＜0
3-
2
4
＜ m ＜
3+
2
4

綜上得實數(shù)m的取值范圍：{m|1＜m＜
3+
2
4
}．
點評：本題考查直線和橢圓的位置關(guān)系的綜合應(yīng)用，考查運算求解能力，推理論證能力；考查化歸與轉(zhuǎn)化思想．綜合性強，難度大，有一定的探索性，對數(shù)學(xué)思維能力要求較高，是高考的重點．解題時要認真審題，仔細解答．
練習(xí)冊系列答案
相關(guān)習(xí)題

科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

已知橢圓
x2
a2
+
y2
b2
=1（a＞0，b＞0），A是橢圓長軸的一個端點，B是橢圓短軸的一個端點，F(xiàn)為橢圓的一個焦點．若AB⊥BF，則該橢圓的離心率為（　�。�
A、
5
+1
2
B、
5
-1
2
C、
5
+1
4
D、
5
-1
4

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

精英家教網(wǎng)如圖，已知橢圓
x2
a2
+
y2
b2
=1 (a＞b＞0)的長軸為AB，過點B的直線l與x軸垂直．直線（2-k）x-（1+2k）y+（1+2k）=0（k∈R）所經(jīng)過的定點恰好是橢圓的一個頂點，且橢圓的離心率e=
3
2
．
（1）求橢圓的標準方程；
（2）設(shè)P是橢圓上異于A、B的任意一點，PH⊥x軸，H為垂足，延長HP到點Q使得HP=PQ，連接AQ延長交直線l于點M，N為MB的中點．試判斷直線QN與以AB為直徑的圓O的位置關(guān)系．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

已知橢圓
x2
a2
+
y2
b2
=1（a＞0，b＞0）的左焦點為F，右頂點為A，上頂點為B，若BF⊥BA，則稱其為“優(yōu)美橢圓”，那么“優(yōu)美橢圓”的離心率為
 
．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

已知橢圓
x2
a2
+
y2
b2
=1(a＞b＞0)的左右焦點分別為F1，F(xiàn)2，左頂點為A，若|F1F2|=2，橢圓的離心率為e=
1
2

（Ⅰ）求橢圓的標準方程，
（Ⅱ）若P是橢圓上的任意一點，求
PF1
•
PA
的取值范圍
（III）直線l：y=kx+m與橢圓相交于不同的兩點M，N（均不是長軸的頂點），AH⊥MN垂足為H且
AH
2=
MH
•
HN
，求證：直線l恒過定點．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

已知橢圓
x2
a2
+
y2
b2
=1（a＞b＞0）的焦點為F1、F2，點B是橢圓短軸的一個端點，且∠F1BF2=90°，則橢圓的離心率e等于
2
2
2
2
．

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