Question

已知拋物線x²=4y的焦點(diǎn)為F，過(guò)焦點(diǎn)F且不平行于x軸的動(dòng)直線l交拋物線于A，B兩點(diǎn)，拋物線在A、B兩點(diǎn)處的切線交于點(diǎn)M．
（Ⅰ）求證：A，M，B三點(diǎn)的橫坐標(biāo)成等差數(shù)列；
（Ⅱ）設(shè)直線MF交該拋物線于C，D兩點(diǎn)，求四邊形ACBD面積的最小值．

Answer 1

【答案】分析：（Ⅰ）由已知可設(shè)直線AB的方程為y=kx+1（k≠0由消去y，得x²-4kx-4=0由x²=4y，得，所以，
分別求得直線AM的方程，BM的方程聯(lián)立求解；
（Ⅱ）先由（I）得直線MF方程，與拋物線方程聯(lián)立消去y，又因?yàn)閗_MF•k_AB=-1，所以AB⊥CD，分別求得|AB|，|CD|的長(zhǎng)度，由面積公式求解．
解答：解：（Ⅰ）由已知，得F（0，1），顯然直線AB的斜率存在且不為0，
則可設(shè)直線AB的方程為y=kx+1（k≠0），A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），
由消去y，得x²-4kx-4=0，顯然△=16k²+16＞0．
所以x₁+x₂=4k，x₁x₂=-4．（2分）
由x²=4y，得，所以，
所以，直線AM的斜率為，
所以，直線AM的方程為，又x₁²=4y₁，
所以，直線AM的方程為x₁x=2（y+y₁）①．（4分）
同理，直線BM的方程為x₂x=2（y+y₂）②．（5分）
②-①并據(jù)x₁≠x₂得點(diǎn)M的橫坐標(biāo)，
即A，M，B三點(diǎn)的橫坐標(biāo)成等差數(shù)列．（7分）

（Ⅱ）由①②易得y=-1，所以點(diǎn)M的坐標(biāo)為（2k，-1）（k≠0）．
所以，
則直線MF的方程為，（8分）
設(shè)C（x₃，y₃），D（x₄，y₄）
由消去y，得，顯然，
所以，x₃x₄=-4．（9分）
又=．（10分）
=．（11分）
因?yàn)閗_MF•k_AB=-1，所以AB⊥CD，
所以，，
當(dāng)且僅當(dāng)k=±1時(shí)，四邊形ACBD面積的取到最小值32．（13分）
點(diǎn)評(píng)：本題主要考查直線與拋物線的位置關(guān)系，滲透著導(dǎo)數(shù)、數(shù)列、平面幾何的知識(shí)，培養(yǎng)學(xué)生綜合運(yùn)用知識(shí)的能力．