Question

設(shè)橢圓

x2

a2

+

y2

b2

=1的左、右焦點(diǎn)為F₁，F(xiàn)₂，左準(zhǔn)線為l，P為橢圓上一點(diǎn)，PQ⊥l，垂足為Q．若四邊形PQF₁F₂為平行四邊形，則橢圓的離心率的取值范圍為

 

．

Answer 1

考點(diǎn)：橢圓的簡單性質(zhì)

專題：圓錐曲線的定義、性質(zhì)與方程

分析：首先，根據(jù)橢圓上動點(diǎn)P橫坐標(biāo)滿足：-a≤x≤a，結(jié)合PQF₁F₂是平行四邊形，得|PQ|=|F₁F₂|，建立關(guān)于ac的不等式，解之再結(jié)合橢圓離心率的取值范圍，可求得該橢圓的離心率取值范圍．

解答： 解：如圖所示：

∵點(diǎn)P是橢圓上的動點(diǎn)，
∴P點(diǎn)橫坐標(biāo)x滿足：-a≤x≤a（等號不能成立），
∵四邊形PQF₁F₂為平行四邊形，
∴|PQ|=|F₁F₂|=2c，
∵左準(zhǔn)線方程為x=-

a2

c

，|PQ|=x+

a2

c

=2c，
∴x=2c-

a2

c

，
因此可得-a＜2c-

a2

c

＜a，各項(xiàng)都除以a，得-1＜2e-

1

e

＜1
解不等式，得

1

2

＜e＜1，
故答案為：(

1

2

，1)．

點(diǎn)評：本題給出橢圓上存在動點(diǎn)到左準(zhǔn)線的距離等于焦距，求橢圓離心率取值范圍，著重考查了橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程和基本概念，橢圓的簡單幾何性質(zhì)等知識，屬于中檔題．