Question

已知|

a

|=|

b

|=|

c

|=1，且

c

=

3

5

a

+

4

5

b

（1）求證：

a

⊥

b

；
（2）設(shè)

a

與

c

的夾角為θ，求cosθ的值．

Answer 1

考點(diǎn)：平面向量數(shù)量積的運(yùn)算

專(zhuān)題：平面向量及應(yīng)用

分析：（1）利用數(shù)量積的性質(zhì)可得

a

•

b

=0即可證明；
（2）對(duì)

c

=

3

5

a

+

4

5

b

，兩邊作數(shù)量積

a

•

c

=

3

5

a

2+

4

5

a

•

b

，化簡(jiǎn)即可．

解答： 解：（1）∵

c

=

3

5

a

+

4

5

b

，
∴

c

2=(

3

5

a

+

4

5

b

)2=

9

25

a

2+

16

25

b

2+

24

25

a

•

b

，
∵|

a

|=|

b

|=|

c

|=1，
∴1=

9

25

+

16

25

+

24

25

a

•

b

，
∴

a

•

b

=0．
∴

a

⊥

b

．
（2）∵

c

=

3

5

a

+

4

5

b

，
∴

a

•

c

=

3

5

a

2+

4

5

a

•

b

，
∵|

a

|=|

b

|=|

c

|=1，

a

•

b

=0，
∴1×1×cosθ=

3

5

×12．
∴cosθ=

3

5

．

點(diǎn)評(píng)：本題考查了數(shù)量積的運(yùn)算法則及其性質(zhì)、向量垂直與數(shù)量積的關(guān)系，屬于基礎(chǔ)題．