已知向量
m
=(ax， -a)， 
n
=(ax， a)，其中a＞0且a≠1，
（1）當(dāng)x為何值時，
m
⊥
n
；
（2）解關(guān)于x的不等式| 
m
+
n 
|＜|
 m
-
n 
|．
分析：（1）利用向量垂直的充要條件列出方程，解方程求出x的值．
（2）利用向量模的平方等于向量的平方，將已知不等式平方展開，得到指數(shù)不等式；討論底數(shù)與1的大��；利用指數(shù)函數(shù)的單調(diào)性求出解集．
解答：解：（1）因為
m
⊥
n
，所以
m
•
n
=0，（2分）
得a2x-a2=0，即a2x=a2．（4分）
所以2x=2，即x=1，∴當(dāng)x=1時，
m
⊥
n
．（6分）
（2）∵|
m
+
n
|＜|
m
-
n
|，∴(
m
+
n
)2＜(
m
-
n
)2，∴
m
•
n
＜0．
所以a2x-a2＜0，即a2x＜a2．（10分）
當(dāng)0＜a＜1時，x＞1，當(dāng)a＞1時，x＜1．
綜上，當(dāng)0＜a＜1時，不等式的解集為（1，+∞）；
當(dāng)a＞1時，不等式的解集為（-∞，1）．（14分）
點評：本題考查向量垂直的充要條件、考查向量模的性質(zhì)：模的平方等于向量的平方、考查指數(shù)函數(shù)的單調(diào)性與底數(shù)與1的大小有關(guān)．
練習(xí)冊系列答案
相關(guān)習(xí)題

科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

已知向量
m
=(1，1)，向量
n
與向量
m
夾角為
3
4
π，且
m
•
n
=-1．
（1）若向量
n
與向量
q
=（1，0）的夾角為
π
2
，向量
p
=(cosA，2cos2
C
2
)，其中A，C為△ABC的內(nèi)角，且A，B，C依次成等差數(shù)列，試求|
n
+
p
|的取值范圍．
（2）若A、B、C為△ABC的內(nèi)角，且A，B，C依次成等差數(shù)列，A≤B≤C，設(shè)f（A）=sin2A-2（sinA+cosA）+a2，f（A）的最大值為5-2
2
，關(guān)于x的方程sin(ax+
π
3
)=
m
2
(a＞0)在[0，
π
2
]上有相異實根，求m的取值范圍．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

（2012•蕪湖二模）給出以下五個命題：
①命題“?x∈R，x2+x+1＞0”的否定是：“?x∈R，x2+x+1＜0”．
②已知函數(shù)f（x）=k•cosx的圖象經(jīng)過點P（
π
3
，1），則函數(shù)圖象上過點P的切線斜率等于-
3

③a=1是直線y=ax+1和直線y=（a-2）x-1垂直的充要條件．
④函數(shù)f(x)=(
1
2
)x-x
1
3
在區(qū)間（0，1）上存在零點．
⑤已知向量
a
=(1，-2)與向量
b
=(1，m)的夾角為銳角，那么實數(shù)m的取值范圍是（-∞，
1
2
）
其中正確命題的序號是
②③④
②③④
．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源：2013學(xué)年安徽省蕪湖市高考數(shù)學(xué)二模試卷（文科）（解析版） 題型：填空題

給出以下五個命題：
①命題“?x∈R，x2+x+1＞0”的否定是：“?x∈R，x2+x+1＜0”．
②已知函數(shù)f（x）=k•cosx的圖象經(jīng)過點P（，1），則函數(shù)圖象上過點P的切線斜率等于
③a=1是直線y=ax+1和直線y=（a-2）x-1垂直的充要條件．
④函數(shù)在區(qū)間（0，1）上存在零點．
⑤已知向量與向量的夾角為銳角，那么實數(shù)m的取值范圍是（）
其中正確命題的序號是    ．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源：不詳 題型：解答題

已知向量
m
=(1，1)，向量
n
與向量
m
夾角為
3
4
π，且
m
•
n
=-1．
（1）若向量
n
與向量
q
=（1，0）的夾角為
π
2
，向量
p
=(cosA，2cos2
C
2
)，其中A，C為△ABC的內(nèi)角，且A，B，C依次成等差數(shù)列，試求|
n
+
p
|的取值范圍．
（2）若A、B、C為△ABC的內(nèi)角，且A，B，C依次成等差數(shù)列，A≤B≤C，設(shè)f（A）=sin2A-2（sinA+cosA）+a2，f（A）的最大值為5-2
2
，關(guān)于x的方程sin(ax+
π
3
)=
m
2
(a＞0)在[0，
π
2
]上有相異實根，求m的取值范圍．

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