Question

已知f（x）=x³+mx²-x+2（m∈R）．
（1）如果函數(shù)f（x）的單調(diào)遞減區(qū)間為（，1），求函數(shù)f（x）的解析式；
（2）若f（x）的導函數(shù)為f′（x），對任意x∈（0，+∞），不等式f′（x）≥2xlnx-1恒成立，求實數(shù)m的取值范圍．

Answer 1

【答案】分析：（1）令f′（x）＜0已知函數(shù)f（x）的單調(diào)遞減區(qū)間為（，1），所以和1為3x²+2mx-1=0的解，代入即可求出m得到解析式；（2）對任意x∈（0，+∞），不等式f′（x）≥2xlnx-1恒成立就是要求f′（x）的最小值都大于等于2xlnx-1即可，所以求出f′（x）的最小值即可得到m的范圍．
解答：解：令f′（x）＜0得3x²+2mx-1＜0，函數(shù)f（x）的單調(diào)遞減區(qū)間為（，1），
所以和1為3x²+2mx-1=0的解，代入求得m=-1，
則函數(shù)f（x）的解析式為f（x）=x³-x²-x+2；
（2）對任意x∈（0，+∞），不等式f′（x）≥2xlnx-1恒成立就是要求f′（x）的最小值都大于等于2xlnx-1
因為f′（x）=3x²+2mx-1，為開口向上的拋物線，有最小值，當x=時，f′（x）的最小值為-1
所以-1≥ln-1，解得m≥ln-1．
點評：考查學生利用導數(shù)研究函數(shù)極值的能力，以及不等式恒成立時條件的理解能力．