Question

已知定義在R上的函數(shù)f(x)和數(shù)列{a_n}滿足下列條件：

a₁=a，a_n=f(a_n-1)(n=2，3，4，…)，其中a為常數(shù)，k為非零常數(shù)。

（1）令b_n=a_n+1-a_n(nÎN*)，證明數(shù)列{b_n}是等比數(shù)列；

（2）求數(shù)列{a_n}的通項公式；

（3）當|k|<1時，求。

 

Answer 1

答案：
解析：

本小題主要考查函數(shù)、數(shù)列、等比數(shù)列和極限等概念，考查靈活應用數(shù)學知識分析問題和解決問題的能力。 （1）證明：由b1=a2-a1¹0，可得b2=a3-a2=f(a2)-f(a1)=k(a2-a1)¹0。 由數(shù)學歸納法可證bn=an+1-an=0(nÎN*) 由題設(shè)條件，當n³2時， 因此，數(shù)列{bn}是一個公比為k的等比數(shù)列。 （2）解：由（1）知，bn=kn-1b1=kn-1(a2-a1)(nÎN*) 當k¹1時， 當k=1時，b1+b2+…+bn-1=(n-1)(a2-a1)(n³2) 而b1+b2+…+bn-1=(a2-a1)+(a3-a2)+…+(an-an-1)=an-a1(n³2) 所以，當k¹1時， 上式對n=1也成立。所以，數(shù)列{an}的通項公式為 。 當k=1時，an-a1=(n-1)(a2-a1)(n³2)。 上式對n=1也成立。所以，數(shù)列{an}的通項公式為an=a+(n-1)(f(a)-a)(nÎN*)， （3）解：當|k|<1時