Question

如圖，一水渠的橫斷面是拋物線形，O是拋物線的頂點，口寬EF=4米，高3米
（1）建立適當(dāng)?shù)闹苯亲鴺?biāo)系，求拋物線方程．
（2）現(xiàn)將水渠橫斷面改造成等腰梯形ABCD，要求高度不變，只挖土，不填土，求梯形ABCD的下底AB多大時，所挖的土最少？

Answer 1

分析：（1）如圖以O(shè)為原點，AB所在的直線為X軸，建立平面直角坐標(biāo)系，此模型是一個開口向上的拋物線，由題設(shè)條件求出其方程即可
（2）求出拋物線的切線，表示成梯形上下底的寬度，利用面積公式表示出梯形的面積，再根據(jù)所得的解析式，求出面積的最小值，求出面積最小時AB的寬度即可

解答：解：（1）解：如圖以O(shè)為原點，AB所在的直線為X軸，建立平面直角坐標(biāo)系，
則F（2，3），設(shè)拋物線的方程是x²=2py（p＞0）
因為點F在拋物線上，所以4=2p×3，p=

2

3

所以拋物線的方程是x2=

4

3

y（5分）
（2）解：等腰梯形ABCD中，AB∥CD，線段AB的中點O是拋物線的頂點，AD，AB，BC分別與拋物線切于點M，O，N
y'=

3

2

x，設(shè)N（x₀，y₀），x₀＞0，，
則拋物線在N處的切線方程是y-y₀=

3

2

x0(x-x0)，所以B(

1

2

x0，0)C(

4+x0 2

2x0

，3)，（10分）
梯形ABCD的面積是S=

1

2

(x0+

4+x0 2

2x0

)×3=

3

2

(2x0+

4

x0

)=3(x0+

2

x0

)≥6

2

，等號當(dāng)且僅當(dāng)x0=

2

時成立，
答：梯形ABCD的下底AB=

2

米時，所挖的土最少（12分）

點評：本題考查拋物線方程的應(yīng)用，解題的關(guān)鍵是根據(jù)拋物線的方程將實際問題的量表示出來，本題是建立面積的函數(shù)表達(dá)式再根據(jù)實際情況求出最值成立時的條件．本題數(shù)形結(jié)合，運(yùn)算量頗大，做題時要嚴(yán)謹(jǐn)，認(rèn)真，避免運(yùn)算變形出錯導(dǎo)致解題失�。�