Question

9．設(shè)y=f（x）是定義在R上的函數(shù)，如果存在A點，對函數(shù)y=f（x）的圖象上任意點P，P關(guān)于點A的對稱點Q也在函數(shù)y=f（x）的圖象上，則稱函數(shù)y=f（x）關(guān)于點A對稱，A稱為函數(shù)f（x）的一個對稱點，對于定義在R上的函數(shù)f（x），可以證明點A（a，b）是f（x）圖象的一個對稱點的充要條件是f（a-x）+f（a+x）=2b，x∈R．
（1）求函數(shù)f（x）=x³+3x²圖象的一個對稱點；
（2）函數(shù)g（x）=ax²+bx+c（a≠0）的圖象是否有對稱點？若存在則求之，否則說明理由；
（3）函數(shù)g（x）=$\frac{{{e^x}+3}}{{{e^x}+1}}$的圖象是否有對稱點？若存在則求之，否則說明理由．

Answer 1

分析 （1）設(shè)A（a，b）為函數(shù)f（x）=x³+3x²圖象的一個對稱點，由題意求得a、b的值，可得函數(shù)f（x）=x³+3x²圖象的一個對稱點．
（2）（2）假設(shè)A（m，n）是函數(shù)g（x）=ax²+bx+c（a≠0）的圖象的一個對稱點，由f（m-x）+f（m+x）=2n求得m、n無解，可得g（x）的圖象無對稱點．
（3）（3）假設(shè)A（m，n）是函數(shù)$g（x）=\frac{{{e^x}+3}}{{{e^x}+1}}=\frac{2}{{{e^x}+1}}+1$的圖象的一個對稱點，根據(jù)f（m-x）+f（m+x）=2n，求得m、n的值，可得結(jié)論．

解答 解：（1）設(shè)A（a，b）為函數(shù)f（x）=x³+3x²圖象的一個對稱點，
則f（a-x）+f（a+x）=2b對于x∈R恒成立，即（a-x）³+3（a-x）²+（a+x）³+3（a+x）²=2b對于x∈R恒成立，
∴（6a+6）x²+（2a³+6a²-2b）=0．
由$\left\{\begin{array}{l}6a+6=0\\ 2{a^3}+6{a^2}-2b=0\end{array}\right.$$⇒\left\{\begin{array}{l}a=-1\\ b=2\end{array}\right.$，故函數(shù)f（x）圖象的一個對稱點為（-1，2）．
（2）假設(shè)A（m，n）是函數(shù)g（x）=ax²+bx+c（a≠0）的圖象的一個對稱點，
則a（m-x）²+b（m-x）+c+a（m+x）²+b（m+x）+c=2n（a≠0）對于x∈R恒成立，
即ax²+（am²+bm+c-n）=0對于x∈R恒成立，因為a≠0，所以ax²+（am²+bm+c-n）=0不恒成立，
即函數(shù)g（x）=ax²+bx+c（a≠0）的圖象無對稱點．
（3）假設(shè)A（m，n）是函數(shù)$g（x）=\frac{{{e^x}+3}}{{{e^x}+1}}=\frac{2}{{{e^x}+1}}+1$的圖象的一個對稱點，
則$\frac{2}{{{e^{m-x}}+1}}+1+\frac{2}{{{e^{m+x}}+1}}+1=2n$對于x∈R恒成立，
即（2-n）e^me^2x+[（1-n）（1+e^2m）+2]e^x+（2-n）e^m=0對于x∈R恒成立，
所以$\left\{\begin{array}{l}（2-n）{e^m}=0\\（1-n）（1+{e^{2m}}）+2=0\end{array}\right.⇒\left\{\begin{array}{l}m=0\\ n=2\end{array}\right.$，
故函數(shù)$g（x）=\frac{{{e^x}+3}}{{{e^x}+1}}$的圖象有一個對稱點A（0，2）．
（其實$g（x）=\frac{{{e^x}+3}}{{{e^x}+1}}=\frac{{1-{e^x}}}{{1+{e^x}}}+2$，而函數(shù)$y=\frac{{1-{e^x}}}{{1+{e^x}}}$是奇函數(shù)，其圖象關(guān)于原點對稱，故g（x）的圖象關(guān)于（0，2）對稱）．

點評 本題主要考查函數(shù)的圖象的對稱性，函數(shù)的恒成立問題，屬于中檔題．