Question

已知數(shù)列{a_n}滿足a₁=3，a_na_n-1=2a_n-1-1．
（1）求a₂，a₃，a₄；
（2）求證：數(shù)列{

1

an-1

}是等差數(shù)列，并求出{a_n}的通項公式．
（3）若bn=(2n-1)2nan，求{b_n}的前n項和T_n．

Answer 1

分析：（1）由a₁=3，a_na_n-1=2a_n-1-1．分別令n值為2，3，4，可逐項求出a₂，a₃，a₄；
（2）由a₁=3，a_na_n-1=2a_n-1-1．可得

1

an-1

-

1

a-1 -1

=1，即數(shù)列{

1

an-1

}是以

1

2

為首項，以1為公式差的等差數(shù)列，先求出數(shù)列{

1

an-1

}的通項，進而可得{a_n}的通項公式
（3）{b_n}的通項是一個等差數(shù)列和等比數(shù)列積的形式，故應使用錯位相減法，求{b_n}的前n項和T_n．

解答：解：（1）∵a₁=3，a_na_n-1=2a_n-1-1．
當n=2時，a₂a₁=2a₁-1，即a₂=2-

1

a1

=

5

3

，
當n=3時，a₃a₂=2a₂-1，即a₃=2-

1

a2

=

7

5

，
當n=4時，a₄a₃=2a₃-1，即a₄=2-

1

a3

=

9

7

，
證明：（2）由題意得a_n≠0且a_n≠1
∵a_na_n-1=2a_n-1-1．
∴（a_n-1-1）-（a_n-1）=（a_n-1-1）（a_n-1）
∴

1

an-1

-

1

a-1 -1

=1
∴數(shù)列{

1

an-1

}是以

1

2

為首項，以1為公式差的等差數(shù)列
故

1

an-1

=

1

2

+n-1=n-

1

2

∴an=

2

2n-1

+1=

2n+1

2n-1

解：（3）由（2）得：bn=(2n+1)2n
∴T_n=3•2+5•2²+7•2³+…+（2n+1）2ⁿ…①
∴2T_n=3•2²+7•2³+…+（2n-1）2ⁿ+（2n+1）2ⁿ⁺¹…②
②-①得：Tn=(2n-1)2n+1+2

點評：本題是數(shù)列問題比較經(jīng)典的考題，是高考試卷考查數(shù)列的常見題型，首先要根據(jù)定義法，迭代法、構(gòu)造數(shù)列法等求出數(shù)列的通項公式，再利用裂項法，錯位相減法等求數(shù)列的前n項和．