Question

已知函數(shù)f(x)=(x-a)²(x-b)(a,b∈R,a<b).
(1)當(dāng)a=1,b=2時(shí),求曲線y=f(x)在點(diǎn)(2,f(2))處的切線方程;
(2)設(shè)x₁,x₂是f(x)的兩個(gè)極值點(diǎn),x₃是f(x)的一個(gè)零點(diǎn),且x₃≠x₁,x₃≠x₂.證明:存在實(shí)數(shù)x₄,使得x₁,x₂,x₃,x₄按某種順序排列后構(gòu)成等差數(shù)列,并求x₄.

Answer 1

（1）y=x-2  （2），證明見解析

(1)解:當(dāng)a=1,b=2時(shí),f(x)=(x-1)²(x-2),
f′(x)= (x-1)(3x-5),
故f′(2)=1.
又f(2)=0,
所以f(x)在點(diǎn)(2,0)處的切線方程為y=x-2.
(2)證明:由題意得f′(x)=3(x-a)(x-),
由于a<b且a,b∈R,故a<,
所以f(x)的兩個(gè)極值點(diǎn)為x=a,x=.
不妨設(shè)x₁=a,x₂=,
因?yàn)閤₃≠x₁,x₃≠x₂,
且x₃是f(x)的零點(diǎn),
故x₃=b.
又因?yàn)?img src="http://thumb.zyjl.cn/pic2/upload/papers/20140824/20140824041536818580.png" style="vertical-align:middle;" />-a=2(b-),
x₄=(a+)=,
此時(shí)a,,,b依次成等差數(shù)列,
所以存在實(shí)數(shù)x₄滿足題意,且x₄=.