Question

已知函數f（x）=（2-a）（x-1）-2lnx（a∈R）．
（1）當a=1時，求f（x）的單調區(qū)間；
（2）若函數f（x）＞0在（0，

1

2

）內恒成立，求實數a的取值范圍．

Answer 1

考點：利用導數研究函數的單調性,函數恒成立問題

專題：導數的綜合應用

分析：（1）將a=1代入函數的表達式，求出導函數，解不等式，從而求出函數的單調區(qū)間；
（2）若函數f（x）＞0在（0，

1

2

）內恒成立，即對x∈（0，

1

2

），a＞2-

2lnx

x-1

恒成立，令l（x）=2-

2lnx

x-1

，則l′（x）=

2lnx+ 2 x -2

(x-1)2

，得l（x）在（0，

1

2

）遞增，從而求出a的范圍．

解答： 解：（1）a=1時：f（x）=x-1-2lnx，
∴f′（x）=1-

2

x

，
令f′（x）＞0，解得：x＞2，
令f′（x）＜0，解得：0＜x＜2，
∴f（x）在（0，2）單調遞減，在（2，+∞）單調遞增；
（2）若函數f（x）＞0在（0，

1

2

）內恒成立，
即對x∈（0，

1

2

），a＞2-

2lnx

x-1

恒成立，
令l（x）=2-

2lnx

x-1

，則l′（x）=

2lnx+ 2 x -2

(x-1)2

，
令m（x）=2lnx+

2

x

-2，x∈（0，

1

2

），
則m′（x）=

-2(1-x)

x2

＜0，
∴m（x）在（0，

1

2

）遞減，
∴m（x）＞m（

1

2

）=2-2ln2＞0，
∴l(xiāng)′（x）＞0，
∴l(xiāng)（x）在（0，

1

2

）遞增，
∴要使a＞2-

2lnx

x-1

恒成立，
只需a∈[2-4ln2，+∞）．
a≥2-4ln2；

點評：本題考查了函數的單調性，函數的最值問題，考查導數的應用，求參數的范圍，是一道中檔題．