Question

已知橢圓的四個(gè)頂點(diǎn)恰好是一邊長(zhǎng)為2，一內(nèi)角為的菱形的四個(gè)頂點(diǎn).
（I）求橢圓的方程；
（II）直線與橢圓交于，兩點(diǎn)，且線段的垂直平分線經(jīng)過點(diǎn)，求（為原點(diǎn)）面積的最大值.

Answer 1

(I)  ； (II)  ．

解析試題分析：(I)由圖形的對(duì)稱性及橢圓的幾何性質(zhì)，易得 ，進(jìn)而寫出方程； (II) ΔAOB的面積可以用 ，所以本題需要用弦長(zhǎng)公式表示AB的長(zhǎng)度，用點(diǎn)到之間的距離公式表示坐標(biāo)原點(diǎn)O到直線的距離，而這些都需要有直線的方程作為前提條件。所以本題應(yīng)先考慮設(shè)出直線AB的方程．此外，設(shè)方程的過程中，注意對(duì)于特殊情形的討論．
試題解析：
(I)因?yàn)闄E圓的四個(gè)頂點(diǎn)恰好是一邊長(zhǎng)為2，
一內(nèi)角為的菱形的四個(gè)頂點(diǎn),
所以,橢圓的方程為                                     4分
(II)設(shè)因?yàn)?img src="http://thumb.1010pic.com/pic5/tikupic/7f/b/vicep.png" style="vertical-align:middle;" />的垂直平分線通過點(diǎn)， 顯然直線有斜率，
當(dāng)直線的斜率為時(shí),則的垂直平分線為軸,則
所以
因?yàn)?img src="http://thumb.1010pic.com/pic5/tikupic/8e/6/oyfqo.png" style="vertical-align:middle;" />，
所以，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)，取得最大值為       7分
當(dāng)直線的斜率不為時(shí),則設(shè)的方程為
所以，代入得到
當(dāng),            即                         
方程有兩個(gè)不同的解
又，                                       8分
所以，
又，化簡(jiǎn)得到                     
代入，得到                                                    10分
又原點(diǎn)到直線的距離為

所以
化簡(jiǎn)得到                                             12分        
因?yàn)?img src="http://thumb.1010pic.com/pic5/tikupic/e4/9/1l1sm2.png" style="vertical-align:middle;" />，所以當(dāng)時(shí)，即時(shí)，取得最大值
綜上，面積的最大值為．
考點(diǎn)：直線與圓錐曲線的位置關(guān)系．