Question

已知三角形的三內(nèi)角A、B、C所對(duì)邊的長(zhǎng)分別為a、b、c，設(shè)向量，，若．

（1）求角B的大小；

（2）若△ABC的面積為，求AC邊的最小值，并指明此時(shí)三角形的形狀．

Answer 1

考點(diǎn)：

余弦定理；三角形的形狀判斷；正弦定理．

專(zhuān)題：

解三角形．

分析：

（1）利用兩個(gè)向量共線的性質(zhì)、正弦定理可得2sinAcosB=sin（B+C）=sinA，由sinA＞0，求得，從而求得B的值．

（2）由△ABC的面積為，求得ac=4，再利用余弦定理以及基本不等式求出AC的最小值．

解答：

解：（1），∵，∴（2a﹣c）cosB=bcosC．

由正弦定理得：（2sinA﹣sinC）cosB=sinBcosC，

整理得：2sinAcosB=sinCcosB+sinBcosC，

即2sinAcosB=sin（B+C）=sinA，∵sinA＞0，∴．

∵0＜B＜π，∴． …（6分）

（2）由已知得：，∴ac=4．

由余弦定理，b²=a²+c²﹣2accosB=a²+c²﹣ac≥2ac﹣ac=ac，當(dāng)且僅當(dāng)“a=c”時(shí)取等號(hào)．

∴AC的最小值為2，此時(shí)三角形為等邊三角形．…（12分）

點(diǎn)評(píng)：

本題主要考查正弦定理和余弦定理的應(yīng)用，兩個(gè)向量共線的性質(zhì)，兩角和差的正弦公式，基本不等式，已知三角函數(shù)值求角的大小，屬于中檔題．