Question

過拋物線y²＝4x的準(zhǔn)線與對(duì)稱軸的交點(diǎn)作直線，交拋物線于M、N兩點(diǎn)，問直線的傾斜角多大時(shí)，以線段MN為直徑的圓經(jīng)過拋物線的焦點(diǎn)？

Answer 1

答案：
解析：

　　解：拋物線y²＝4x的準(zhǔn)線與對(duì)稱軸的交點(diǎn)為(－1，0)．

　　設(shè)直線MN的方程為y＝k(x＋1)．

　　由得k²x²＋2(k²－2)x＋k²＝0．

　　∵直線與拋物線交于M、N兩點(diǎn)，∴Δ＝4(k²－2)²－4k⁴＞0，即k²＜|k²－2|，k²＜1，－1＜k＜1．

　　設(shè)M(x₁，y₁)，N(x₂，y₂)，拋物線焦點(diǎn)為F(1，0)．

　　∵以線段MN為直徑的圓經(jīng)過拋物線焦點(diǎn)，

　　∴MF⊥NF．

　　∴，即y₁y₂＋x₁x₂－(x₁＋x₂)＋1＝0．

　　∴k＝±，

　　即直線的傾斜角為arctan或π－arctan時(shí)，以線段MN為直徑的圓經(jīng)過拋物線的焦點(diǎn)．