Question

已知平面上兩定點M（0，-2）、N（0，2），P為一動點，滿足

.

MP

-

.

MN

=|

.

PN

|-|

.

MN

|．
（I）求動點P的軌跡C的方程；
（II）若A、B是軌跡C上的兩不同動點，且

.

AN

=λ

.

NB

．分別以A、B為切點作軌跡C的切
線，設其交點Q，證明

.

NQ

-

.

AB

為定值．

Answer 1

分析：（I）先設P（x，y），欲動點P的軌跡C的方程，即尋找x，y之間的關系，結合向量的坐標運算即可得到．
（II）先設出A，B兩點的坐標，利用向量關系及向量運算法則，用A，B的坐標表示出

.

NQ

-

.

AB

，最后看其是不是定值即可．

解答：解：（I）設P（x，y）．
由已知

MP

=（x，y+2），

MN

=（0，4），

PN

=（-x，2-y），

MP

•

MN

=4y+8．
|

PN

|•|

MN

|=4x²+（y-2）²（3分）
∵

MP

•

MN

=|

PN

|•|

MN

|
∴4y+8=4x²+（y-2）²整理，得x²=8y
即動點P的軌跡C為拋物線，其方程為x²=8y．（6分）
（II）由已知N（0，2）．
即得（-x₁，2-y₁）=λ（x₂，y₂-2）

-x1=λx2 2-y1=λ(y2-2)

設A（x₁，y₁），B（x₂，y₂）．由

AN

=λ

NB

即得（-x₁，2-y₁）=λ（x₂，y₂-2），
∴-x₁=λx₂…（1），
2-y₁=λ（y₂-2）…（2）
將（1）式兩邊平方并把x₁²=8y₁，x₂²=8y₂代入得y₁=λy₂（3分）
解得 y₁=2λ，y₂=

2

λ

，
且有x₁x₂=-λx₂²=-8λy₂=-16．（8分）
拋物線方程為 y=18x₂，求導得y′=

1

4

x．
所以過拋物線上A、B兩點的切線方程分別是 y=

1

4

x₁（x-x₁）+y₁，y=

1

4

x²（x-x₂）+y₂，
即y=

1

4

x₁x-

1

8

x₁²，y=

1

4

x₂x-

1

8

x₂²
解出兩條切線的交點Q的坐標為 （

x1+x2

2

，

x1x2

8

）=（

x1+x2

2

，-2）（11分）
所以

NQ

•

AB

=（

x1+x2

2

，-4）•（x₂-x₁，y₁-y₂）
=

1

2

（x₂²-x₁²）-4（

1

8

x₂²-

1

8

x₁²）=0
所以

.

NQ

•

.

AB

為定值，其值為0．（13分）

點評：求曲線的軌跡方程是解析幾何的基本問題   求符合某種條件的動點的軌跡方程，其實質(zhì)就是利用題設中的幾何條件，用“坐標化”將其轉(zhuǎn)化為尋求變量間的關系．