Question

已知函數(shù)．
（I）求函數(shù)f（x）的單調(diào)區(qū)間；
（II）求證：對任意的m，n∈（0，e]，都有f（m）-g（n）＞．
（注：e≈2.71828…是自然對數(shù)的底數(shù)．）

Answer 1

【答案】分析：（I）由y=x-lnx，知x＞0，y′=1-，由y′=1-=0，得x=1．由此能求出函數(shù)的單調(diào)區(qū)間．
（II）由（1）知函數(shù)y=x-lnx的增區(qū)間是[1，+∞），減區(qū)間是（0，1]．由此能求出函數(shù)f（x）的最小值．由g（x）=，知g′（x）=，由此能求出函數(shù)g（x）=的單調(diào)區(qū)間，由此能求出函g（x）數(shù)的最大值，最后根據(jù)f（x）的最小值-g（x）的最大值＞，即可得到結果．
解答：解：（I）∵y=x-lnx，
∴x＞0，y′=1-，
由y′=1-=0，得x=1．
當0＜x＜1時，y′＜0；當x＞1時，y′＞0，
∴函數(shù)y=x-lnx的增區(qū)間是[1，+∞），減區(qū)間是（0，1]．
（II）由（I）知y′=1-，
由y′=1-=0，得x=1．
函數(shù)y=x-lnx的增區(qū)間是[1，+∞），減區(qū)間是（0，1]．
∴當x=1時，函數(shù)取最小值y_min=1-ln1=1．
又∵g（x）=，x＞0，故其定義域為（0，+∞）
∴g′（x）=，
令g′（x）＞0，得0＜x＜e
令g′（x）＜0，得x＞e
故函數(shù)g（x）=的單調(diào)遞增區(qū)間為（0，e），單調(diào)遞減區(qū)間為（e，+∞）．
∴當x=e時，函數(shù)取最小值y_max=．如圖．
從圖象中可以看出，在區(qū)間（0，e]上，f（x）的最小值減去g（x）的最大值大于，
即對任意的m，n∈（0，e]，都有f（m）-g（n）＞．
點評：本題考查函數(shù)的單調(diào)區(qū)間和函數(shù)的最值的求法，是基礎題．解題時要認真審題，仔細解答．