Question

已知直線與橢圓相交于兩點(diǎn)，點(diǎn)是線段上的一點(diǎn)，且點(diǎn)在直線上.

（1）求橢圓的離心率；

（2）若橢圓的焦點(diǎn)關(guān)于直線的對(duì)稱點(diǎn)在單位圓上，求橢圓的方程.

 

Answer 1

(1);(2)

【解析】

試題分析：(1)設(shè)、，由題中的直線方程與橢圓方程聯(lián)立消去，得，由韋達(dá)定理得，進(jìn)而得到，因此得的中點(diǎn)，且點(diǎn)在直線上建立關(guān)系得，進(jìn)而得離心率的值；

（2）由（1）的結(jié)論，設(shè)橢圓的一個(gè)焦點(diǎn)關(guān)于直線的對(duì)稱點(diǎn)為，且被直線垂直且平分建立方程組，解之得且，結(jié)合點(diǎn)在單位圓上，得到關(guān)于的方程，并解得，由此即可得到橢圓方程.

（1）由知M是AB的中點(diǎn)，

設(shè)A、B兩點(diǎn)的坐標(biāo)分別為

由

，

∴M點(diǎn)的坐標(biāo)為

又M點(diǎn)的直線l上：

,

（2）由（1）知，根據(jù)對(duì)稱性，不妨設(shè)橢圓的右焦點(diǎn)關(guān)于直線l：上的對(duì)稱點(diǎn)為，

則有

由已知，

∴所求的橢圓的方程為

考點(diǎn)：橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程及簡(jiǎn)單的幾何性質(zhì)；兩點(diǎn)關(guān)于一條直線對(duì)稱；直線與橢圓的位置關(guān)系.