Question

如圖，在邊長為4的菱形ABCD中，∠DAB=60°．點(diǎn)E、F分別在邊CD、CB上，點(diǎn)E與點(diǎn)C、D不重合，EF⊥AC，EF∩AC=O．沿EF將△CEF翻折到△PEF的位置，使平面PEF⊥平面ABFED．

（1）求證：BD⊥平面POA；
（2）當(dāng)PB取得最小值時(shí)，求四棱錐P-BDEF的體積．

Answer 1

【答案】分析：（1）由菱形ABCD的對(duì)角線互相垂直，知BD⊥AC，BD⊥AO，由EF⊥AC，知PO⊥EF．由此能夠證明BD⊥平面POA．
（2）設(shè)AO∩BD=H．因?yàn)椤螪AB=60°，所以△BDC為等邊三角形，故BD=4，．由此入手能夠求出當(dāng)PB取得最小值時(shí)四棱錐P-BDEF的體積．
解答：解：（1）證明：∵菱形ABCD的對(duì)角線互相垂直，
∴BD⊥AC，∴BD⊥AO，
∵EF⊥AC，∴PO⊥EF．
∵平面PEF⊥平面ABFED，平面PEF∩平面ABFED=EF，且PO?平面PEF，
∴PO⊥平面ABFED，
∵BD?平面ABFED，∴PO⊥BD．
∵AO∩PO=O，∴BD⊥平面POA．…（4分）
（2）設(shè)AO∩BD=H．因?yàn)椤螪AB=60°，
所以△BDC為等邊三角形，
故BD=4，．
又設(shè)PO=x，則，．
由OH⊥BD，則，
又由（1）知，PO⊥平面BFED，則PO⊥OB
所以，
當(dāng)時(shí)，．
此時(shí)，…（8分）
所以．…（12分）
點(diǎn)評(píng)：本題考查直線與平面垂直的證明，考查四錐錐體積的求法．解題時(shí)要認(rèn)真審題，仔細(xì)解答，注意合理地化空間問題為平面問題．