Question

(2007北京海淀模擬)如下圖，在四棱錐P－ABCD中，平面PAD⊥平面ABCD，∠ABC=∠BCD=90°，，E是BP的中點(diǎn)．

(1)求證：EC∥平面APD；

(2)求BP與平面ABCD所成角的正切值；

(3)求二面角P－AB－D的大�。�

Answer 1

答案：略
解析：

解析：(1)如圖，取PA中點(diǎn)F，連結(jié)EF、FD， ∴EF∥CD且EF=CD． ∴四邊形EFDC是平行四邊形， 故得EC∥FD． 又∵平面PAD，FD平面PAD， ∴EC∥平面ADP． (2)取AD中點(diǎn)H，連結(jié)PH，BH，因?yàn)?/FONT>PA=PD， 所以PH⊥AD． ∵平面PAD⊥平面ABCD． ∴PH⊥平面ABCD． ∴HB是PB在平面ABCD內(nèi)的射影． ∴∠PBH是PB與平面ABCD所成角． 由已知∠ABC=∠BCD=90°， ∴四邊形ABCD是直角梯形． ∴在Rt△PHB中，． (3)在平面ABCD內(nèi)過(guò)點(diǎn)H作AB的垂線交AB于G點(diǎn)，連結(jié)PG，則HG是PG在平面ABCD內(nèi)的射影，故PG⊥AB，所以∠PGH是二面角P－AB－D的平面角，由AB=2a，，又∠HAB=45°， ∴．在Rt△PHG中，．