設(shè)a＞2，給定數(shù)列數(shù)學(xué)公式求證：
（1）xn＞2，且xn+1＜xn（n∈N*）；
（2）如果數(shù)學(xué)公式．

證明：（1）使用數(shù)學(xué)歸納法證明xn＞2
當(dāng)n=1時(shí)，x1=a＞2命題成立；
假設(shè)當(dāng)n=k（k∈N*）時(shí)命題成立，即xk＞2，且xk+1＜xk．
當(dāng)n=k+1時(shí)，=＞0
即xk+1＞2
綜上對(duì)一切n∈N*，有xn＞2．（4分）
當(dāng)xn＞2時(shí)，
∴xn+1＜xn（n∈N*）（6分）
（2）因?yàn)閤n＞2，所以．
故（10分）
由此可得，
∴
當(dāng)2＜a≤3時(shí)，（12分）
分析：（1）使用數(shù)學(xué)歸納法證明xn＞2，證題時(shí)采用作差法即可；證明xn+1＜xn，利用作商法與1比較即可；
（2）利用（1）先證明，再采用放縮法即可證得．
點(diǎn)評(píng)：本題考查不等式的證明，考查數(shù)學(xué)歸納法，放縮法，解題時(shí)要根據(jù)數(shù)學(xué)歸納法的證題步驟證明．
練習(xí)冊(cè)系列答案
相關(guān)習(xí)題

科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源： 題型：

（2008•閘北區(qū)一模）已知數(shù)列{an}和{bn}滿足：a1=λ，an+1=
23
an+n-4，bn=(-1)n(an-3n+21），其中λ為實(shí)數(shù)，n為正整數(shù)．Sn為數(shù)列{bn}的前n項(xiàng)和．
（1）對(duì)任意實(shí)數(shù)λ，證明：數(shù)列{an}不是等比數(shù)列；
（2）對(duì)于給定的實(shí)數(shù)λ，試求數(shù)列{bn}的通項(xiàng)公式，并求Sn．
（3）設(shè)0＜a＜b（a，b為給定的實(shí)常數(shù)），是否存在實(shí)數(shù)λ，使得對(duì)任意正整數(shù)n，都有a＜Sn＜b？若存在，求λ的取值范圍；若不存在，說(shuō)明理由．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源： 題型：

設(shè)函數(shù)f（x）=
x
2(x+1)
，給定數(shù)列{an}，其中a1=a，an+1=f（an）（n∈N*）．
（1）若{an}為常數(shù)數(shù)列，求a的值；
（2）當(dāng)a≠0時(shí)，探究{
1
an
+2}能否是等比數(shù)列？若是，求出{an}的通項(xiàng)公式；若不是，說(shuō)明理由；
（3）設(shè)bn=3nan，數(shù)列{bn}的前n項(xiàng)和為Sn，當(dāng)a=1時(shí)，求證：Sn＞4-（n+2）（
1
2
）n-1．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源：山西省太原市2010屆高三基礎(chǔ)知識(shí)測(cè)試?yán)砜茢?shù)學(xué)試題 題型：022

設(shè)a＞2，給定數(shù)列{xn}，其中x1＝a，xn+1＝(n＝1，2，3，…)．

(1)若a＝3，an＝，求{an}和{xn}的通項(xiàng)公式；

(2)求證：2＜xn+1＜xn(n＝1，2，3，…)；

(3)若a≤3，證明xn＜2＋(n＝1，2，3，…)

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科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源：2012-2013學(xué)年江蘇省南京市高三（上）期中數(shù)學(xué)模擬試卷（三）（解析版） 題型：解答題

已知數(shù)列{an}和{bn}滿足：a1=λ，an+1=-3n+21），其中λ為實(shí)數(shù)，n為正整數(shù)．Sn為數(shù)列{bn}的前n項(xiàng)和．
（1）對(duì)任意實(shí)數(shù)λ，證明：數(shù)列{an}不是等比數(shù)列；
（2）對(duì)于給定的實(shí)數(shù)λ，試求數(shù)列{bn}的通項(xiàng)公式，并求Sn．
（3）設(shè)0＜a＜b（a，b為給定的實(shí)常數(shù)），是否存在實(shí)數(shù)λ，使得對(duì)任意正整數(shù)n，都有a＜Sn＜b？若存在，求λ的取值范圍；若不存在，說(shuō)明理由．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源：2010年廣東省廣州市名師高考數(shù)學(xué)模擬試試卷（解析版） 題型：解答題

設(shè)函數(shù)f（x）=，給定數(shù)列{an}，其中a1=a，an+1=f（an）（n∈N*）．
（1）若{an}為常數(shù)數(shù)列，求a的值；
（2）當(dāng)a≠0時(shí)，探究{+2}能否是等比數(shù)列？若是，求出{an}的通項(xiàng)公式；若不是，說(shuō)明理由；
（3）設(shè)bn=3nan，數(shù)列{bn}的前n項(xiàng)和為Sn，當(dāng)a=1時(shí)，求證：Sn＞4-（n+2）（）n-1．

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