Question

如圖，圓柱OO₁內(nèi)有一個三棱柱ABC-A₁B₁C₁，三棱柱的底面為圓柱底面的內(nèi)接三角形，且AB是圓O的直徑．
（1）證明：平面A₁ACC₁⊥平面B₁BCC₁；
（2）設AB=AA₁，在圓柱OO₁內(nèi)隨機選取一點，記該點取自于三棱柱ABC-A1B₁C₁內(nèi)的概率為P．當點C在圓周上運動時，記平面A₁ACC₁與平面B₁OC所成的角為θ（0°＜θ≤90°），當P取最大值時，求cosθ的值．

Answer 1

【答案】分析：（1）欲證平面A₁ACC₁⊥平面B₁BCC₁，關鍵是找線面垂直，根據(jù)直線與平面垂直的判定定理知BC⊥平面A₁ACC₁；
（2）根據(jù)AC²+BC²=AB²為定值可求出V₁的最大值，從而得到P=的最大值，P取最大值時，OC⊥AB，于是以O為坐標原點，建立空間直角坐標系O-xyz，求出平面A₁ACC₁的一個法向量與平面B₁OC的一個法向量，然后求出兩法向量的夾角從而得到二面角的余弦值．
解答：解：（Ⅰ）因為AA₁⊥平面ABC，BC?平面ABC，所以AA₁⊥BC，
因為AB是圓O直徑，所以BC⊥AC，又AC∩AA₁=A，所以BC⊥平面A₁ACC₁，
而BC?平面B₁BCC₁，所以平面A₁ACC₁⊥平面B₁BCC₁．
（Ⅱ）設圓柱的底面半徑為r，則AB=AA₁=2r，故三棱柱ABC-A₁B₁C₁的體積為=AC•BC•r，又因為AC²+BC²=AB²=4r²，
所以=2r²，當且僅當時等號成立，
從而V₁≤2r³，而圓柱的體積V=πr²•2r=2πr³，
故P=，當且僅當，即OC⊥AB時等號成立，
所以P的最大值是．
P取最大值時，OC⊥AB，于是以O為坐標原點，
建立空間直角坐標系O-xyz，則C（r，0，0），B（0，r，0），B₁（0，r，2r），
因為BC⊥平面A₁ACC₁，所以是平面A₁ACC₁的一個法向量，
設平面B₁OC的法向量，由，故，
取z=1得平面B₁OC的一個法向量為，因為0°＜θ≤90°，
所以===．
點評：本小題主要考查直線與直線、直線與平面、平面與平面的位置關系，以及幾何體的體積、幾何概型等基礎知識，考查空間想象能力、運算求解能力、推理論證能力，考查數(shù)形結(jié)合思想、化歸與轉(zhuǎn)化思想、必然與或然思想．