Question

某商場(chǎng)經(jīng)過(guò)市場(chǎng)調(diào)查分析后得知，2003年從年初開(kāi)始的前n個(gè)月內(nèi)，對(duì)某種商品需求的累計(jì)數(shù)f（n）（萬(wàn)件）近似地滿(mǎn)足下列關(guān)系：f(n)=

1

90

n(n+2)(18-n) ， n=1 ，2 ， 3 ， …， 12
（1）問(wèn)這一年內(nèi)，哪幾個(gè)月需求量超過(guò)1.3萬(wàn)件？
（2）若在全年銷(xiāo)售中，將該產(chǎn)品都在每月初等量投放市場(chǎng)，為了保證該商品全年不脫銷(xiāo)，每月初至少要投放多少件商品？（精確到件）

Answer 1

分析：（1）首先求出第n個(gè)月的月需求量，根據(jù)需求量超過(guò)1.3萬(wàn)件建立等式關(guān)系，可求出所求；
（2）設(shè)每月初等量投放商品a萬(wàn)件，要使商品不脫銷(xiāo)，對(duì)于第n個(gè)月來(lái)說(shuō)，不僅有本月投放市場(chǎng)的a萬(wàn)件商品，還有前幾個(gè)月未銷(xiāo)售完的商品．所以，需且只需：na-f（n）≥0，將a分離出來(lái)，利用基本不等式可求出a的最值．

解答：解：（1）首先，第n個(gè)月的月需求量=

f(1)，n=1 f(n)-f(n-1)，2≤n≤12

∵f(n)=

1

90

n(n+2)(18-n)，
∴f(1)=

17

30

＜1.3．
當(dāng)n≥2時(shí)，f(n-1)=

1

90

(n-1)(n+1)(19-n)
∴f(n)-f(n-1)=

1

90

(-3n2+35n+19)
令f（n）-f（n-1）＞1.3，即-3n²+35n+19＞117，解得：

14

3

＜n＜7，
∵n∈N，∴n=5，6
即這一年的5、6兩個(gè)月的需求量超過(guò)1.3萬(wàn)件．
（2）設(shè)每月初等量投放商品a萬(wàn)件，要使商品不脫銷(xiāo)，對(duì)于第n個(gè)月來(lái)說(shuō)，不僅有本月投放市場(chǎng)的a萬(wàn)件商品，還有前幾個(gè)月未銷(xiāo)售完的商品．所以，需且只需：na-f（n）≥0，
∴a≥

f(n)

n

=

(n+2)(18-n)

90

又∵

(n+2)(18-n)

90

≤

1

90

[

(n+2)+(18-n)

2

]2=

10

9

∴a≥

10

9

即每月初至少要投放

10

9

萬(wàn)件即11112件商品，才能保證全年不脫銷(xiāo)．

點(diǎn)評(píng)：本題主要考查了函數(shù)模型的選擇與應(yīng)用，以及利用基本不等式求函數(shù)的最值，同時(shí)考查了計(jì)算能力，屬于中檔題．