Question

已知冪函數(shù)f（x）=（-2m²+m+2）x^m-1為偶函數(shù)．
（Ⅰ）求f（x）的解析式；
（Ⅱ）a≤2，判y=f（x）-2ax+1在區(qū)間（2，3）上的單調性并用定義加以證明．

Answer 1

考點：冪函數(shù)的性質

專題：函數(shù)的性質及應用

分析：（1）根據(jù)冪函數(shù)的系數(shù)一定為1可先確定參數(shù)m的值，再根據(jù)奇偶性進行驗證，可得答案．
（2）根據(jù)函數(shù)的單調性進行證明即可．

解答： 解：（Ⅰ）∵函數(shù)f（x）=（-2m²+m+2）x^m-1是冪函數(shù)
∴可得-2m²+m+2=1，解得m=1或m=-

1

2

，
當m=1時，滿足題意，
當m=-

1

2

時，函數(shù)為f（x）=x 

1

2

在其定義域上是奇函數(shù)，不是偶函數(shù)，不滿足條件．
（Ⅱ）由（Ⅰ）得y=x²-2ax+1，對稱軸為x=a≤2，
∴y在區(qū)間（2，3）上單調遞增，
設x₁，x_2∈（2，3），且x₁＜x₂，
則△x=x₁-x₂＜0，
∴△y=y₁-y₂=x12-x22+2a(x2-x1)
=（x₁-x₂）（x₁+x₂-2a）（x₁+₂-2a）
=（x₁-x₂）（x₁-a）（x₂-a）
∵△x=x₁-x₂＜0，a≤2，x₁-a＞0，x₂-a＞0，
∴△y＞0，
∴y=f（x）-2ax+1在區(qū)間（2，3）上是增函數(shù)．

點評：本題主要考查函數(shù)的奇偶性和單調性，屬于基礎題．