已知經(jīng)過同一點的n(n∈N*,n≥3)個平面,任意三個平面不經(jīng)過同一條直線.若這n個平面將空間分成f(n)個部分,則f(3)=    ,f(n)=   
【答案】分析:兩個平面把空間分成4個部分,增加一平面,與前兩個平面不過同一直線,則第三個平面與前兩個平面有兩條交線,兩條交線把第三個平面分成兩個部分,每一部分將其所在的空間一分為二,則三個平面把空間分成8個部分,即f(3)=8=32-3+2;類比此結(jié)論可得過同一點且不經(jīng)過同一直線的n個平面把空間分成n2-n+2個部分.
解答:解:因為兩個相交平面把空間分成四個部分,若第三個平面和前兩相交平面經(jīng)過同一點,且三個平面不過同一直線,則第三個平面與前兩個平面的交線相交,這樣能把空間分成8個部分,即f(3)=8=32-3+2;
有n個面時,再添加1個面,與其它的n個面有n條交線,n條交線將此平面分成2n個部分,
每一部分將其所在空間一分為二,
則 f(n+1)=f(n)+2n.
利用疊加法,
則 f(n)-f(1)=[2+4+6+…+2(n-1)]
=
∴f(n)=n2-n+2.
故答案為8,n2-n+2.
點評:本題考查了類比推理,類比推理是根據(jù)已有的事實,經(jīng)過觀察、分析、比較、聯(lián)想,再進(jìn)行歸納、類比,然后提出猜想的推理,此題是基礎(chǔ)題.
練習(xí)冊系列答案
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8
8
,f(n)=
n2-n+2
n2-n+2

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