Question

（2012•杭州一模）已知向量a=(cos

3x

2

，sin

3x

2

)，b=(cos

x

2

，-sin

x

2

)， x∈[0， 

π

2

]．
（Ⅰ）求

a

•

b

及|

a

+

b

|；
（Ⅱ）若函數(shù)f（x）=

a

•

b

-2t|

a

+

b

|的最小值為-

3

2

，求t的值．

Answer 1

分析：（Ⅰ）利用向量的數(shù)量積公式，結合差角的余弦公式，可求數(shù)量積，將模平方，再開方，即可求得模；
（Ⅱ）f（x）=cos2x-4tcosz=2cos²x-4tcosx-1=2（cosx-t）²-2t²-1，再分類討論，利用函數(shù)的最小值，即可確定t的值．

解答：解：（Ⅰ）

a

•

b

=cos

3x

2

cos

x

2

-sin

3x

2

sin

x

2

=cos2x
|

a

+

b

|2=

a

2+2

a

•

b

+

b

2=2+2cos2x=4cos²x，
∵x∈[0，

π

2

]，∴cosx∈[0，1]
∴|

a

+

b

|=2cosx
（Ⅱ）f（x）=cos2x-4tcosz=2cos²x-4tcosx-1=2（cosx-t）²-2t²-1
當t＜0時，函數(shù)在[0，1]上單調增，函數(shù)的最小值為-1，不滿足；
當0≤t≤1時，函數(shù)的最小值為-2t²-1=-

3

2

，∴t=

1

2

；
當t＞1時，函數(shù)在[0，1]上單調減，函數(shù)的最小值為1-4t=-

3

2

，t=

5

8

，不滿足，
綜上可知，t的值為

1

2

．

點評：本題考查向量的數(shù)量積，考查向量的模，考查函數(shù)的最值，解題的關鍵是確定函數(shù)的解析式．