【題目】已知a,b是正實(shí)數(shù),設(shè)函數(shù)f(x)=xlnx,g(x)=﹣a+xlnb.
(Ⅰ)設(shè)h(x)=f(x)﹣g(x),求h(x)的單調(diào)區(qū)間;
(Ⅱ)若存在x0 , 使x0∈[ , ]且f(x0)≤g(x0)成立,求 的取值范圍.
【答案】解:(1)∵h(yuǎn)(x)=f(x)﹣g(x)=xlnx+a﹣xlnb
∴h′(x)=lnx+1﹣lnb
由h′(x)>0得x> ,
∴h(x)在(0, )上單調(diào)遞減,( ,+∞)上單調(diào)遞增.
2)由 < 得 <7
(i)當(dāng) ≤ ≤ ,即 ≤ ≤ 時(shí),
h(x)min=h( )=﹣ +a
由﹣ +a≤0得 ≥e,
∴e≤ ≤
(ii)當(dāng) < 時(shí),a>
∴h(x)在[ , ]上單調(diào)遞增.
h(x)min=h( )= (ln ﹣lnb)+a≥ (ln ﹣lnb)+a= > = b>0
∴不成立
(iii)當(dāng) > ,即 > 時(shí),a< b
h(x)在[ , ]上單調(diào)遞減.
h(x)min=h( )= (ln ﹣lnb)+a< (ln lnb)+a= < = <0
∴當(dāng) > 時(shí)恒成立
綜上所述,e≤ <7
【解析】(I)根據(jù)已知求出h(x)=f(x)﹣g(x)的解析式,求出其導(dǎo)函數(shù),分別求出導(dǎo)函數(shù)為正,為負(fù)時(shí)x的取值范圍,進(jìn)而可得h(x)的單調(diào)區(qū)間;(Ⅱ)根據(jù)區(qū)間的定義可得 < ,由f(x0)≤g(x0),結(jié)合(I)中函數(shù)的單調(diào)性,分類(lèi)討論,最后綜合討論結(jié)果,可得 的取值范圍.
【考點(diǎn)精析】利用利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性對(duì)題目進(jìn)行判斷即可得到答案,需要熟知一般的,函數(shù)的單調(diào)性與其導(dǎo)數(shù)的正負(fù)有如下關(guān)系: 在某個(gè)區(qū)間內(nèi),(1)如果,那么函數(shù)在這個(gè)區(qū)間單調(diào)遞增;(2)如果,那么函數(shù)在這個(gè)區(qū)間單調(diào)遞減.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】選修4-4:坐標(biāo)系與參數(shù)方程
極坐標(biāo)系中, 為極點(diǎn),半徑為2的圓的圓心坐標(biāo)為.
(1)求圓的極坐標(biāo)方程;
(2)設(shè)直角坐標(biāo)系的原點(diǎn)與極點(diǎn)重合, 軸非負(fù)關(guān)軸與極軸重合,直線(xiàn)的參數(shù)方程為(為參數(shù)),由直線(xiàn)上的點(diǎn)向圓引切線(xiàn),求切線(xiàn)長(zhǎng)的最小值.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】定義:如果函數(shù)f(x)在[a,b]上存在x1 , x2(a<x1<x2<b)滿(mǎn)足 , ,則稱(chēng)函數(shù)f(x)是[a,b]上的“雙中值函數(shù)”.已知函數(shù)f(x)=x3﹣x2+a是[0,a]上的“雙中值函數(shù)”,則實(shí)數(shù)a的取值范圍是( )
A.
B.( )
C.( ,1)
D.( ,1)
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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】(本小題滿(mǎn)分16分)如圖,有一個(gè)長(zhǎng)方形地塊ABCD,邊AB為2km, AD為4 km.,地塊的一角是濕地(圖中陰影部分),其邊緣線(xiàn)AC是以直線(xiàn)AD為對(duì)稱(chēng)軸,以A為頂點(diǎn)的拋物線(xiàn)的一部分.現(xiàn)要鋪設(shè)一條過(guò)邊緣線(xiàn)AC上一點(diǎn)P的直線(xiàn)型隔離帶EF,E,F(xiàn)分別在邊AB,BC上(隔離帶不能穿越濕地,且占地面積忽略不計(jì)).設(shè)點(diǎn)P到邊AD的距離為t(單位:km),△BEF的面積為S(單位: ).
(1)求S關(guān)于t的函數(shù)解析式,并指出該函數(shù)的定義域;
(2)是否存在點(diǎn)P,使隔離出的△BEF面積S超過(guò)3 ?并說(shuō)明理由.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】如圖,在正四棱錐S﹣ABCD中,E,M,N分別是BC,CD,SC的中點(diǎn),動(dòng)點(diǎn)P在線(xiàn)段MN上運(yùn)動(dòng)時(shí),下列四個(gè)結(jié)論中恒成立的個(gè)數(shù)為( )
(1)EP⊥AC;
(2)EP∥BD;
(3)EP∥面SBD;
(4)EP⊥面SAC.
A.1個(gè)
B.2個(gè)
C.3個(gè)
D.4個(gè)
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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】已知集合P={x|x2>2},Q={0,1,2,3},則(RP)∩Q=( )
A.{0,1}
B.{0}
C.{2,3}
D.{1,2,3}
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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】已知圓C的圓心是直線(xiàn)x﹣y+1=0與x軸的交點(diǎn),且圓C與(x﹣2)2+(y﹣4)2=9相外切,若過(guò)點(diǎn)P(﹣1,1)的直線(xiàn)l與圓C交于A,B兩點(diǎn),當(dāng)∠ACB最小時(shí),弦AB的長(zhǎng)為( )
A.4
B.
C.2
D.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】如圖,在直三棱柱ABC﹣A1B1C1中,A1B1=A1C1 , D,E分別是棱BC,CC1上的點(diǎn)(點(diǎn)D 不同于點(diǎn)C),且AD⊥DE,F(xiàn)為B1C1的中點(diǎn).求證:
(1)平面ADE⊥平面BCC1B1;
(2)直線(xiàn)A1F∥平面ADE.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】分別根據(jù)下列條件,求圓的方程:
(1)過(guò)兩點(diǎn)(0,4),(4,6),且圓心在直線(xiàn)x﹣2y﹣2=0上;
(2)半徑為 ,且與直線(xiàn)2x+3y﹣10=0切于點(diǎn)(2,2).
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