設(shè)Q為雙曲線-=1上一動(dòng)點(diǎn),A(3a,0)為中心,將AQ沿順時(shí)針方向選轉(zhuǎn)到AP,求P點(diǎn)的軌跡方程.
【答案】分析:利用復(fù)數(shù)的運(yùn)算分別表示出向量:,再根據(jù)由向量繞頂點(diǎn)A按順時(shí)針方向旋轉(zhuǎn)而得到得到向量的關(guān)系式:zAQ•(i)=zAP
 將向量的坐標(biāo)代入計(jì)算,最后利用點(diǎn)(x,y)在雙曲線上,可求得點(diǎn)P的軌跡方程.
解答:解:如圖所示,設(shè)點(diǎn)Q,P,A所對(duì)應(yīng)的復(fù)數(shù)為:
zQ=x+yi,zP=x+yi,zA=3a則向量對(duì)應(yīng)的復(fù)數(shù)
=(x-3a)+yi
向量對(duì)應(yīng)的復(fù)數(shù)

由向量繞頂點(diǎn)A按順時(shí)針方向旋轉(zhuǎn)而得到,得zAQ•(i)=zAP
即(x-3a+yi)•(-i)=(x-3a+yi)
由復(fù)數(shù)相等的定義得
而點(diǎn)(x,y)在雙曲線上,可知點(diǎn)P的軌跡方程為
=1
點(diǎn)評(píng):本題考查利用相關(guān)點(diǎn)求軌跡方程.相關(guān)點(diǎn)法是指根據(jù)相關(guān)點(diǎn)所滿足的方程,通過轉(zhuǎn)換而求動(dòng)點(diǎn)的軌跡方程.
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相關(guān)習(xí)題

科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

設(shè)Q為雙曲線
x2
a2
-
y2
b2
=1上一動(dòng)點(diǎn),A(3a,0)為中心,將AQ沿順時(shí)針方向選轉(zhuǎn)
π
2
到AP,求P點(diǎn)的軌跡方程.

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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

已知雙曲線C:
x2
2
-y2=1

(1)求雙曲線C的漸近線方程;
(2)已知點(diǎn)M的坐標(biāo)為(0,1).設(shè)P是雙曲線C上的點(diǎn),Q是點(diǎn)P關(guān)于原點(diǎn)的對(duì)稱點(diǎn).記λ=
MP
MQ
.求λ的取值范圍;
(3)已知點(diǎn)D,E,M的坐標(biāo)分別為(-2,-1),(2,-1),(0,1),P為雙曲線C上在第一象限內(nèi)的點(diǎn).記l為經(jīng)過原點(diǎn)與點(diǎn)P的直線,s為△DEM截直線l所得線段的長(zhǎng).試將s表示為直線l的斜率k的函數(shù).

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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

設(shè)雙曲線
x2
a2
-
y2
b2
=1
(a,b>0)兩焦點(diǎn)為F1、F2,點(diǎn)Q為雙曲線上除頂點(diǎn)外的任一點(diǎn),過焦點(diǎn)F2作∠F1QF2的平分線的垂線,垂足為M,則M點(diǎn)軌跡是(  )
A、橢圓的一部分
B、雙曲線的一部分
C、拋物線的一部分
D、圓的一部分

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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

已知雙曲線C:
x2
2
-y2 =1

(1)求雙曲線C的漸近線方程;
(2)已知點(diǎn)M的坐標(biāo)為(0,1).設(shè)P是雙曲線C上的點(diǎn),Q是點(diǎn)P關(guān)于原點(diǎn)的對(duì)稱點(diǎn),記λ=
MP
MQ
.求λ的取值范圍.

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