Question

數(shù)列{a_n}的前n項(xiàng)和為S_n，且滿足S_n=2（a_n-1），數(shù)列{b_n}中，b₁=1，且點(diǎn)P（b_n，b_n+1）在直線x-y+2=0上，
（1）求數(shù)列{a_n}、{b_n}的通項(xiàng)公式；
（2）設(shè)Hn=

1

b1b2

+

1

b2b3

+…+

1

bn-1bn

，求使得Hn＜

m

30

對(duì)所有的n∈N^*都成立的最小正整數(shù)m；
（3）設(shè)Tn=

b1

a1

+

b2

a2

+…+

bn

an

，試比較T_n與3的大小關(guān)系．

Answer 1

分析：（1）利用數(shù)列中a_n與 Sn關(guān)系an=

Sn     n=1 Sn-Sn-1    n≥2

求{a_n}的通項(xiàng)公式；點(diǎn)P（b_n，b_n+1）代入直線x-y+2=0方程，易知{b_n}為等差數(shù)列．
（2）將b_n=2n-1代入Hn，易知用裂項(xiàng)法計(jì)算Hn，只需

m

30

大于H_n的最大值即可．
（3）Tn可看做是等差數(shù)列與等比數(shù)列對(duì)應(yīng)項(xiàng)相乘后相加，可用錯(cuò)位相消法化簡(jiǎn)計(jì)算，后與3比較即可．

解答：解：（1）∵S_n=2（a_n-1），∴S_n+1=2（a_n+1-1）
兩式相減得：an+1=2an+1-2an?

an+1

an

=2，又∵a₁=2
∴{a_n}是以2為首項(xiàng)，以2為公比的等比數(shù)列，∴a_n=2ⁿ
又P（b_n，b_n+1）在直線x-y+2=0上，
∴b_n-b_n+1+2=0?b_n+1-b_n=2，
又∵b₁=1，∴}、{b_n}是以1為首項(xiàng)，以2為公差的等差數(shù)列，∴b_n=2n-1
（2）

1

bn-1bn

=

1

(2n-3)(2n-1)

=

1

2

(

1

2n-3

-

1

2n-1

)
∴Hn=

1

b1b2

+

1

b2b3

+…+

1

bn-1bn

=

1

2

(1-

1

2n-1

)
要使

1

2

(1-

1

2n-1

)＜

m

30

所有的n∈N^*都成立，必須且僅需滿足

1

2

≤

m

30

?m≥15
所以滿足要求的最小正整數(shù)為15，
（3）Tn=

1

2

+

3

22

+

5

23

+…+

2n-1

2n

1

2

Tn=

1

22

+

3

23

+

5

24

+…+

2n-1

2n+1

相減得：

1

2

Tn=

1

2

+(

1

2

+

1

22

+…+

1

2n-1

)-

2n-1

2n+1

化簡(jiǎn)得Tn=3-

1

2n-2

-

2n-1

2n

＜3
所以T_n＜3

點(diǎn)評(píng)：本題考查數(shù)列通項(xiàng)公式求解，裂項(xiàng)法、錯(cuò)位相消法數(shù)列求和，數(shù)列的函數(shù)性質(zhì)，不等式的證明．考查綜合運(yùn)用知識(shí)分析解決問(wèn)題，計(jì)算等能力．