Question

已知函數(shù)f(x)＝x²－1與函數(shù)g(x)＝aln x(a≠0)．
(1)若f(x)，g(x)的圖像在點(diǎn)(1,0)處有公共的切線，求實(shí)數(shù)a的值；
(2)設(shè)F(x)＝f(x)－2g(x)，求函數(shù)F(x)的極值．

Answer 1

（1）a＝2.     （2）見解析

解：(1)因?yàn)閒(1)＝0，g(1)＝0，
所以點(diǎn)(1,0)同時(shí)在函數(shù)f(x)，g(x)的圖像上，
因?yàn)閒(x)＝x²－1，g(x)＝aln x，
所以f′(x)＝2x，g′(x)＝，
由已知，得f′(1)＝g′(1)，所以2＝，即a＝2.
(2)因?yàn)镕(x)＝f(x)－2g(x)＝x²－1－2aln x(x>0)，
所以F′(x)＝2x－＝，
當(dāng)a<0時(shí)，
因?yàn)閤>0，且x²－a>0，所以F′(x)>0對(duì)x>0恒成立，
所以F(x)在(0，＋∞)上單調(diào)遞增，F(xiàn)(x)無極值；
當(dāng)a>0時(shí)，
令F′(x)＝0，解得x₁＝，x₂＝－ (舍去)，
所以當(dāng)x>0時(shí)，F(xiàn)′(x)，F(xiàn)(x)的變化情況如下表：

x	(0，)		(，＋∞)
F′(x)	－	0	＋
F(x)	遞減	極小值	遞增

 
所以當(dāng)x＝時(shí)，F(xiàn)(x)取得極小值，且F()＝()²－1－2aln＝a－1－aln a.
綜上，當(dāng)a<0時(shí)，函數(shù)F(x)在(0，＋∞)上無極值；
當(dāng)a>0時(shí)，函數(shù)F(x)在x＝處取得極小值a－1－aln a.