Question

已知直線l：y=x+m，m∈R．
（I）若以點(diǎn)M（2，0）為圓心的圓與直線l相切于點(diǎn)P，且點(diǎn)P在y軸上，求該圓的方程；
（II）若直線l關(guān)于x軸對(duì)稱的直線為l′，問直線l′與拋物線C：x²=4y是否相切？說明理由．

Answer 1

【答案】分析：（I）利用待定系數(shù)法求本題中圓的方程是解決本題的關(guān)鍵，利用直線與圓相切的數(shù)學(xué)關(guān)系列出關(guān)于圓的半徑的方程，通過求解方程確定出所求圓的半徑，進(jìn)而寫出所求圓的方程；
（II）設(shè)出直線為l'的方程利用直線與拋物線的位置關(guān)系解決該題，將幾何問題轉(zhuǎn)化為代數(shù)方程組問題，注意體現(xiàn)方程有幾個(gè)解的思想．
解答：解：（I）設(shè)所求圓的半徑為r，則圓的方程可設(shè)為（x-2）²+y²=r²．由題意，所求圓與直線l：y=x+m相切于點(diǎn)P（0，m），則有
，解得，所以圓的方程為（x-2）²+y²=8．
（II）由于直線l的方程為y=x+m，所以直線l'的方程為y=-x-m，由消去y得到x²+4x+4m=0，△=4²-4×4m=16（1-m）．
①當(dāng)m=1時(shí)，即△=0時(shí)，直線l'與拋物線C：x²=4y相切；
②當(dāng)m≠1時(shí)，即△≠0時(shí)，直線l'與拋物線C：x²=4y不相切．
綜上，當(dāng)m=1時(shí)，直線l'與拋物線C：x²=4y相切；當(dāng)m≠1時(shí)，直線l'與拋物線C：x²=4y不相切．
點(diǎn)評(píng)：本題考查直線與圓的位置關(guān)系，直線與拋物線的位置關(guān)系，考查學(xué)生對(duì)直線與圓相切，直線與拋物線相切的問題的轉(zhuǎn)化方法，考查學(xué)生的方程思想和運(yùn)算化簡能力，屬于基本題型．