各項(xiàng)均為正數(shù)的數(shù)列{an}，a1=，且對(duì)滿足m+n=p+q的任意正整數(shù)m，n，p，q都有
（I）求通項(xiàng)an；
（II）記cn=an+1-an（n∈N*），設(shè)數(shù)列{cn}的前n項(xiàng)和為Tn，求證：對(duì)任意正整數(shù)n都有Tn＜．
【答案】分析：（I）解法一：特征根法，構(gòu)造得出，利用{}為等比數(shù)列求解
解法二：由1+n=2+（n-1），得出，繼而轉(zhuǎn)化為=，利用數(shù)列{}為等比數(shù)列求解
（II）=，經(jīng)放縮后，利用等比數(shù)列求和公式化簡(jiǎn)后可證明．
解答：解：（I）解法一：特征根法，令得α=1
∴
∴
再利用構(gòu)造新數(shù)列求通項(xiàng)公式
設(shè)
∴∴
∴又   
∴
∴
∴
解法二：由
得
將a1=，代入化簡(jiǎn)得
an=
所以=
故數(shù)列{}為等比數(shù)列，從而=，an=

（II）∵
∴
=
∴
點(diǎn)評(píng)：本題考查數(shù)列的遞推公式與通項(xiàng)公式，轉(zhuǎn)化構(gòu)造的思想方法以及放縮法證明不等式．綜合性較強(qiáng)．
練習(xí)冊(cè)系列答案
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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

設(shè)單調(diào)遞增函數(shù)f（x）的定義域?yàn)椋?，+∞），且對(duì)任意的正實(shí)數(shù)x，y有f（xy）=f（x）+f（y），且f(
1
2
)=-1．
（1）一個(gè)各項(xiàng)均為正數(shù)的數(shù)列{an}滿足：f（sn）=f（an）+f（an+1）-1其中Sn為數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和，求數(shù)列{an}的通項(xiàng)公式；
（2）在（1）的條件下，是否存在正數(shù)M使下列不等式：2n•a1a2…an≥M
2n+1
(2a1-1)(2a2-1)…(2an-1)對(duì)一切n∈N*成立？若存在，求出M的取值范圍；若不存在，請(qǐng)說明理由．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

各項(xiàng)均為正數(shù)的數(shù)列{an}中，a1=1，Sn是數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和，對(duì)任意n∈N﹡，有2Sn=2p
a
2
n
+pan-p（p∈R）．
（1）求常數(shù)p的值；
（2）求數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和Sn．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

已知各項(xiàng)均為正數(shù)的數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和為Sn，且Sn，an，
1
2
成等差數(shù)列，
（1）求a1，a2的值；
（2）求數(shù)列{an}的通項(xiàng)公式；
（3）若bn=4-2n（n∈N*），設(shè)cn=
bn
an
，求數(shù)列{cn}的前n項(xiàng)和Tn．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

各項(xiàng)均為正數(shù)的數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和為Sn，且點(diǎn)（an，Sn）在函數(shù)y=
1
2
x2+
1
2
x-3的圖象上，
（1）求數(shù)列{an}的通項(xiàng)公式；
（2）記bn=nan(n∈N*)，求證：
1
b1
+
1
b2
+…+
1
bn
＜
3
4
．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

（2008•長(zhǎng)寧區(qū)二模）已知各項(xiàng)均為正數(shù)的數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和sn滿足s1＞1，且6sn=（an+1）（an+2）（n為正整數(shù)）．
（1）求{an}的通項(xiàng)公式；
（2）設(shè)數(shù)列{bn}滿足bn=
an，n為偶數(shù)
2an，n為奇數(shù)
，求Tn=b1+b2+…+bn；
（3）設(shè)Cn=
bn+1
bn
，(n為正整數(shù))，問是否存在正整數(shù)N，使得n＞N時(shí)恒有Cn＞2008成立？若存在，請(qǐng)求出所有N的范圍；若不存在，請(qǐng)說明理由．

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