Question

等比數(shù)列{a_n}的前n項和為S_n，已知對任意的n∈N^*，點（n，S_n），均在函數(shù)y=b^x+r（b＞0且b≠1，b，r均為常數(shù)）的圖象上．  
（1）求r的值；
（2）當b=2時，記bn=（n∈N^*），求數(shù)列{b_n} 的前n項和T_n
（3）由（2），是否存在最小的整數(shù)m，使得對于任意的n∈N^*，均有，若存在，求出m的值，若不存在，說明理由．

Answer 1

【答案】分析：（1）由已知得 Sn=bⁿ+r，利用數(shù)列中a_n與 Sn關系求{a_n}的通項公式，再據(jù)定義求出r的值；
（2）由（1）求得b_n=，即可得到再用錯位相消法求Tn；
（3）對于任意的n∈N^*，均有，，利用數(shù)列的函數(shù)性質，求出3-2T_n的最大值，再去確定m的取值情況．
解答：解：（1）因為對任意的n∈N^*，點（n，S_n），均在函數(shù)y=b^x+r（b＞0且b≠1，b，r均為常數(shù)）的圖象上
所以得   S_n=bⁿ+r，
當n=1時，a₁=S₁=b+r，
當n≥2時，a_n=S_n-S_n-1=bⁿ+r-（b^n-1+r ）=（b-1）b ^n-1，
又因為{a_n}為等比數(shù)列，∴公比為b，所以 ，解得r=-1，首項a₁=b-1，
∴a_n=（b-1）b^n-1    
（2）當b=2時，a_n=2^n-1，b_n===   
則 
∴    
兩式相減，得
=
=-
∴T_n=-=-
（3）若 使得對于任意的n∈N^*，都成立
∴3-（3-）＜，
即＜對于任意的n∈N^*，都成立
又，
∴的最大值在n=1時取得，最大值為2，
∴＞2，m＞40，所以存在這樣的m=41符合題意．
點評：本題是函數(shù)與數(shù)列、不等式的綜合．主要考查等比數(shù)列定義，及利用錯位相消法來處理數(shù)列求和、恒成立問題．