Question

（2013•門頭溝區(qū)一模）已知函數(shù)f（x）=

ax2+x+a

ex

．
（Ⅰ）函數(shù)f（x）在點(diǎn)（0，f（0））處的切線與直線2x+y-1=0平行，求a的值；
（Ⅱ）當(dāng)x∈[0，2]時(shí)，f（x）≥

1

e2

恒成立，求a的取值范圍．

Answer 1

分析：（Ⅰ）由題意可得f′（0）=1-a=-2，解之可得a值；
（Ⅱ）求導(dǎo)數(shù)，分a=0和a≠0兩大類老討論，其中第二類又需分a＜0，0＜a≤1，a＞1三種情況，綜合可得．

解答：解：（Ⅰ）由題意可得f′（x）=

(2ax+1)ex-(ax2+x+a)ex

(ex)2

=

-ax2+(2a-1)x+1-a

ex

 …（2分）
故可得f′（0）=1-a，因?yàn)楹瘮?shù)f（x）在點(diǎn)（0，f（0））處的切線與直線2x+y-1=0平行，
而直線的斜率為-2，所以1-a=-2，解得a=3                         …（5分）
（Ⅱ）由（Ⅰ）知f′（x）=

-ax2+(2a-1)x+1-a

ex

=

-(ax+1-a)(x-1)

ex

，令f′（x）=0，
當(dāng)a=0時(shí)，x=1，在（0，1）上，有f′（x）＞0，函數(shù)f（x）單調(diào)遞增；
在（1，2）上，有f′（x）＜0，函數(shù)f（x）單調(diào)遞減，f（0）=0，f（2）=

2

e2

，
故函數(shù)f（x）的最小值為0，結(jié)論不成立．…（6分）
當(dāng)a≠0時(shí)，x₁=1，x₂=1-

1

a

                               …（7分）
若a＜0，f（0）=a＜0，結(jié)論不成立                     …（9分）
若0＜a≤1，則x₂≤0，在（0，1）上，有f′（x）＞0，函數(shù)f（x）單調(diào)遞增；
在（1，2）上，有f′（x）＜0，函數(shù)f（x）單調(diào)遞減，
只需

f(0)≥ 1 e2 f(2)≥ 1 e2

，解得

a≥ 1 e2 a≥- 1 5

，所以

1

e2

≤a≤1            …（11分）
若a＞1，則0＜1-

1

a

＜1，函數(shù)在x=1-

1

a

處有極小值，只需

f(1- 1 a )≥ 1 e2 f(2)≥ 1 e2

解得

2a-1≥e-1- 1 a a≥- 1 5

，因?yàn)?a-1＞1，e-1-

1

a

＜1，所以a＞1   …13
綜上所述，a≥

1

e2

  …（14分）

點(diǎn)評(píng)：本題考查利用導(dǎo)數(shù)研究曲線的切線，涉及恒成立問題，屬中檔題．