Question

以一年為一個周期調(diào)查某商品出廠價格及該商品在商店銷售價格時發(fā)現(xiàn)：該商品出廠價格y₁是在6元的基礎上按月份隨正弦曲線波動的，已知3月份出廠價格最高為8元，7月份出廠價格最低為4元，而該商品在商店內(nèi)的銷售價格y₂是在8元的基礎上按月份也是隨正弦曲線波動的，并已知5月份銷售價格最高為10元，9月份銷售價格最低為6元．
（1）分別求出y₁、y₂關于第x月份的函數(shù)解析式；
（2）假設某商店每月進貨這種商品m件，且當月能售完，問哪個月盈利最大？最大盈利為多少元？

Answer 1

分析：（1）分別設出出廠價波動函數(shù)和售價波動函數(shù)，利用最高和最低價分別振幅A和B，根據(jù)月份求得周期進而求得ω₁和ω₂，根據(jù)最大值求得φ₁和φ_2；
（2）由（1）中出廠價格及銷售價格，利用y=y₂-y₁，求得每件盈利的表達式，利用正弦函數(shù)的性質(zhì)求得y取最大值時x的值．

解答：解：（I）設y₁=Asin（ωx+φ）+B
∵y₁是在6元的基礎上按月份隨正弦曲線波動的，
∴B=6
又∵3月份出廠價格最高為8元，7月份出廠價格最低為4元，
∴A=2，T=2×（7-3）=8=

2π

ω

，
∴ω=

π

4

則y₁=2sin（

π

4

x+φ）+6
將（3，8）點代入得：φ=-

π

4

故y₁=2sin（

π

4

x-

π

4

）+6
同時由y₂是在8元的基礎上按月份也是隨正弦曲線波動的，并已知5月份銷售價格最高為10元，9月份銷售價格最低為6元
可得y₂=2sin（

π

4

x-

3π

4

）+8
（II）每件盈利  y=m（y₂-y₁）=2msin（

π

4

x-

π

4

-

π

2

）+8m-[2msin（

π

4

x-

π

4

）+6m]=（-2

2

sin

π

4

x+2）m
則當當sin

π

4

x=-1，

π

4

x=2kπ-

π

2

，x=8k-2時y取最大值
當k=1，即x=6時，y取最大值
∴估計6月份盈利最大

點評：本題主要考查了在實際問題中建立三角函數(shù)的模型的問題，函數(shù)模型的選擇與應用，三角函數(shù)的值域，突顯了運用三角函數(shù)的圖象和性質(zhì)來解決問題．其中根據(jù)已知確定y=Asin（ωx+φ）的解析式是解答本題的關鍵．