Question

已知非負(fù)實(shí)數(shù)x、y、z滿足x+y+z=3．
（1）求

2x+1

+

2y+1

+

2z+1

的最大值；
（2）求證：

x2

1+x4

+

y2

1+y4

+

z2

1+z4

≤

1

1+x

+

1

1+y

+

1

1+z

．

Answer 1

考點(diǎn)：不等式的證明

專題：證明題

分析：（1）t=

2x+1

+

2y+1

+

2z+1

，則t²=（2x+1）+（2y+1）+（2z+1）+2

2x+1

•

2y+1

+2

2x+1

•

2z+1

+2

2y+1

•

2z+1

，利用基本不等式可求得t²≤27，從而可求得其最大值；
（2）利用基本不等式可證

x2

1+x4

=

1

x2+ 1 x2

≤

1

2

，

y2

1+y4

=

1

y2+ 1 y2

≤

1

2

，

z2

1+z4

=

1

z2+ 1 z2

≤

1

2

，從而可得

x2

1+x4

+

y2

1+y4

+

z2

1+z4

≤

3

2

（當(dāng)且僅當(dāng)x=y=1時(shí)取“=”）①
右端

1

1+x

+

1

1+y

+

1

1+z

=

(1+x)+(1+y)+(1+z)

6

（

1

1+x

+

1

1+y

+

1

1+z

）展開(kāi)，重新組合，利用基本不等式可證得

1

1+x

+

1

1+y

+

1

1+z

≥

3

2

②，聯(lián)立①②可證得結(jié)論．

解答： 證明：（1）∵x、y、z為非負(fù)實(shí)數(shù)，且滿足x+y+z=3，
令t=

2x+1

+

2y+1

+

2z+1

，
則t²=（2x+1）+（2y+1）+（2z+1）+2

2x+1

•

2y+1

+2

2x+1

•

2z+1

+2

2y+1

•

2z+1

，
∵（2x+1）+（2y+1）+（2z+1）=2（x+y+z）+3=9，
2

2x+1

•

2y+1

≤（2x+1）+（2y+1），
2

2x+1

•

2z+1

≤（2x+1）+（2z+1），
2

2y+1

•

2z+1

≤（2y+1）+（2z+1），
∴t²≤9+2[（2x+1）+（2y+1）+（2z+1）]=9+18=27（當(dāng)且僅當(dāng)x=y=z=1時(shí)取“=”），
∴t≤3

3

，即

2x+1

+

2y+1

+

2z+1

的最大值為3

3

；
（2）∵

x2

1+x4

=

1

x2+ 1 x2

≤

1

2

，

y2

1+y4

=

1

y2+ 1 y2

≤

1

2

，

z2

1+z4

=

1

z2+ 1 z2

≤

1

2

，
∴

x2

1+x4

+

y2

1+y4

+

z2

1+z4

≤

3

2

（當(dāng)且僅當(dāng)x=y=z=1時(shí)取“=”）①
又x+y+z=3，x、y、z為非負(fù)實(shí)數(shù)，
∴

1

1+x

+

1

1+y

+

1

1+z

=

(1+x)+(1+y)+(1+z)

6

（

1

1+x

+

1

1+y

+

1

1+z

）
=

1

6

（1+

1+y

1+x

+

1+z

1+x

+1+

1+x

1+y

+

1+z

1+y

+1+

1+x

1+z

+

1+y

1+z

）
=

1

6

[3+（

1+y

1+x

+

1+x

1+y

）+（

1+z

1+y

+

1+y

1+z

）+（

1+z

1+x

+

1+x

1+z

）]
≥

1

6

（3+2+2+2）=

3

2

．②
由①②得：

x2

1+x4

+

y2

1+y4

+

z2

1+z4

≤

1

1+x

+

1

1+y

+

1

1+z

．

點(diǎn)評(píng)：本題考查不等式的證明，著重考查基本不等式的應(yīng)用，考查等價(jià)轉(zhuǎn)化思想與創(chuàng)新思維、邏輯思維能力，屬于難題．