Question

已知函數(shù)f（x）=

eax

x

（1）若f（x）在區(qū)間[1，+∞）單調(diào)遞增，求實數(shù)a的取值范圍；
（2）當a=

1

2

時，求函數(shù)f（x）在區(qū)間[m，m+1]（m＞0）上的最小值．

Answer 1

考點：利用導數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性,利用導數(shù)求閉區(qū)間上函數(shù)的最值

專題：導數(shù)的綜合應用

分析：（1）函數(shù)f（x）在上為增函數(shù)，故(

eax

x

)′=

eax(ax-1)

x2

≥0在[1，+∞）上恒成立，即可解得；
（2）利用導數(shù)判斷函數(shù)的單調(diào)性，進而得出函數(shù)的最小值，注意對m的討論．

解答： 解：（1）由題知：函數(shù)f（x）在上為增函數(shù)，故(

eax

x

)′=

eax(ax-1)

x2

≥0在[1，+∞）上恒成立，
又由e^ax＞0，x²＞0，則ax-1≥0，即a≥

1

x

在[1，+∞）上恒成立，
又(

1

x

)max=1，故a≥1．-------------（5分）
（2）當a=

1

2

時，f(x)=

e x 2

x

(x≠0)，f(x)′=

e x 2 ( x 2 -1)

x2

；
當

x

2

-1＞0時，即x＞2時，f'（x）＞0；
當

x

2

-1＜0時，即x＜0或0＜x＜2時，f'（x）＜0；
則f（x）的增區(qū)間是（2，+∞），減區(qū)間是（-∞，0），（0，2）
由于m＞0，則m+1＞1，-------------（8分）
當m+1≤2時，即0＜m≤1時，f（x）在[m，m+1]上單調(diào)遞減，
則f(x)min=f(m+1)=

e m+1 2

m+1

；
當m＜2＜m+1時，即1＜m＜2時，f（x）在[m，2]上單調(diào)遞減，在（2，m+1]單調(diào)遞增．
則f(x)min=f(2)=

e

2

；
當m≥2時，f（x）在[m，m+1]上單調(diào)遞增．則f(x)min=f(m)=

e m 2

m

，
綜上可知：當0＜m≤1時，f(x)min=f(m+1)=

e m+1 2

m+1

；
當1＜m＜2時，f(x)min=f(2)=

e

2

；
當m≥2時，f(x)min=f(m)=

e m 2

m

．-------------（12分）

點評：本題主要考查利用導數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性及最值問題，考查學生分類討論思想的運用能力及運算求解能力，綜合性邏輯性強，屬于難題．