Question

20．給出下列命題 （1）${log_{0.5}}3＜{2^{\frac{1}{3}}}＜{（\frac{1}{3}）^{0.2}}$；
（2）函數(shù)f（x）=log₄x-2sinx有5個零點；
（3）函數(shù)f（x）=ln$\frac{x-4}{x-6}$+$\frac{x}{12}$的圖象以$（5，\frac{5}{12}）$為對稱中心；
（4）已知a＞0，b＞0，函數(shù)y=2ae^x+b的圖象過點（0，1），則$\frac{1}{a}+\frac{1}$的最小值是4$\sqrt{2}$．
其中正確命題的個數(shù)是（　�。�

• A． 1個
• B． 2個
• C． 3個
• D． 4個

Answer 1

分析 （1）利用指數(shù)函數(shù)和對數(shù)函數(shù)的圖象和性質(zhì)，判斷三個式子的大小，可判斷（1）；數(shù)形結合分析函數(shù)零點的個數(shù)，可判斷（2）；構造函數(shù)g（x）=f（x+5）-$\frac{5}{12}$，并判斷其奇偶性，結合函數(shù)圖象的平移變換法則，可判斷（3）；結合指數(shù)函數(shù)的圖象和性質(zhì)及基本不等式，可判斷（4）．

解答 解：（1）∵log_0.53＜0，${2}^{\frac{1}{3}}＞1$，$0＜{（\frac{1}{3}）}^{0.2}＜1$，
故$lo{g}_{0.5}3＜{（\frac{1}{3}）}^{0.2}＜{2}^{\frac{1}{3}}$，故（1）錯誤；
（2）函數(shù)y=log₄x與y=2sinx的圖象如下圖所示：

由圖可得：函數(shù)y=log₄x與y=2sinx的圖象有5個交點，故函數(shù)f（x）=log₄x-2sinx有5個零點，故（2）正確；
（3）令g（x）=f（x+5）-$\frac{5}{12}$=[ln$\frac{（x+5）-4}{（x+5）-6}$+$\frac{（x+5）}{12}$]-$\frac{5}{12}$=ln$\frac{x+1}{x-1}$+$\frac{x}{12}$，
則g（-x）=ln$\frac{-x+1}{-x-1}$-$\frac{x}{12}$=-（ln$\frac{x+1}{x-1}$+$\frac{x}{12}$）=-g（x），
故g（x）為奇函數(shù)，其圖象關于原點對稱，故函數(shù)f（x）=ln$\frac{x-4}{x-6}$+$\frac{x}{12}$的圖象以$（5，\frac{5}{12}）$為對稱中心，故（3）正確；
（4）已知a＞0，b＞0，函數(shù)y=2ae^x+b的圖象過點（0，1），
則2a+b=1，則$\frac{1}{a}+\frac{1}$=（$\frac{1}{a}+\frac{1}$）（2a+b）=3+（$\frac{a}$+$\frac{2a}$）≥3+2$\sqrt{\frac{a}•\frac{2a}}$=3+2$\sqrt{2}$，
即$\frac{1}{a}+\frac{1}$的最小值是3+2$\sqrt{2}$，故（4）錯誤．
故正確的命題的個數(shù)是2個，
故選：B

點評 本題以命題的真假判斷與應用為載體，考查了函數(shù)的對稱性，基本不等式，函數(shù)的零點，指數(shù)函數(shù)與對數(shù)函數(shù)的單調(diào)性等知識點，難度中檔．