如圖,某機(jī)場建在一個海灣的半島上,飛機(jī)跑道AB的長為4.5km,且跑道所在的直線與海岸線l的夾角為60o(海岸線可以看作是直線),跑道上離海岸線距離最近的點(diǎn)B到海岸線的距離BC=4km.D為海灣一側(cè)海岸線CT上的一點(diǎn),設(shè)CD=x(km),點(diǎn)D對跑道AB的視角為q.
(1)將tanq表示為x的函數(shù);
(2)求點(diǎn)D的位置,使q取得最大值.
(1);(2)
點(diǎn)距
點(diǎn)6km.
解析試題分析:(1)由圖可知,因此為了求
,可通過求
和
,
,下面關(guān)鍵要求
,為止作
,垂足為
,這時會發(fā)現(xiàn)隨
的取值不同,
點(diǎn)可能在線段
上,也可能在線段
外,
可能為銳角也可能為鈍角,這里出現(xiàn)了分類討論,作
交
延長線于
,由已知可求出
,這就是分類的分界點(diǎn);(2)由(1)求得
,要求它的最大值,可以采取兩種方法,一種是由于分子是一次,分母是二次的,可把分子
作為整體,分子分母同時除以
(當(dāng)然分母也已經(jīng)化為
的多項(xiàng)式了),再用基本不等式求解,也可用導(dǎo)數(shù)知識求得最大值.
(1)過A分別作直線CD,BC的垂線,垂足分別為E,F(xiàn).
由題知,AB=4.5,BC=4,∠ABF=90o-60o=30o,
所以CE=AF=4.5×sin30o=,BF=4.5×cos30o=
,
AE=CF=BC+BF=.
因?yàn)镃D=x(x>0),所以tan∠BDC==
.
當(dāng)x>時,ED=x-
,tan∠ADC=
=
=
(如圖1);
當(dāng)0<x<時,ED=
-x,tan∠ADC=-
=
(如圖2). 4分
所以tanq=tan∠ADB=tan(∠ADC-∠BDC)=
==
,其中x>0且x≠
.
當(dāng)x=時tanq=
=
,符合上式.
所以tanq=( x>0) 8分
(2)(方法一)tanq===
,x>0. 11分
因?yàn)?(x+4)+-41≥2
-41=39,
當(dāng)且僅當(dāng)4(x+4)=,即x=6時取等號.
所以當(dāng)x=6時,4(x+4)+-41取最小值39.
所以當(dāng)x=6時,tanq取最大值. 13分
由于y=tanx在區(qū)間(0,)上是增函數(shù),所以當(dāng)x=6時,q取最大值.
答:在海灣一側(cè)的海岸線CT上距C點(diǎn)6km處的D點(diǎn)處觀看飛機(jī)跑道的視角最大 14分
(方法二)tanq=f(x)==
.
f ¢(x)==-
,x>0.
由f ¢(x)=0得x=6.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:解答題
(本題滿分14分)本題有2個小題,第一小題滿分6分,第二小題滿分1分.
設(shè)常數(shù),函數(shù)
(1)若=4,求函數(shù)
的反函數(shù)
;
(2)根據(jù)的不同取值,討論函數(shù)
的奇偶性,并說明理由.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:解答題
已知奇函數(shù) f (x) 在 (-¥,0)∪(0,+¥) 上有意義,且在 (0,+¥) 上是增函數(shù),f (1) = 0,又函數(shù) g(q) = sin 2q+ m cos q-2m,若集合M =" {m" | g(q) < 0},集合 N =" {m" | f [g(q)] < 0},求M∩N.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:解答題
設(shè)函數(shù).
為常數(shù)且
(1)當(dāng)時,求
;
(2)若滿足
,但
,則稱
為
的二階周期點(diǎn).證明函數(shù)
有且僅有兩個二階周期點(diǎn),并求二階周期點(diǎn)
;
(3)對于(2)中的,設(shè)
,記
的面積為
,求
在區(qū)間
上的最大值和最小值。
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:解答題
已知函數(shù)f(x)=2x+k·2-x,k∈R.
(1)若函數(shù)f(x)為奇函數(shù),求實(shí)數(shù)k的值;
(2)若對任意的x∈[0,+∞)都有f(x)>2-x成立,求實(shí)數(shù)k的取值范圍.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:解答題
某地方政府準(zhǔn)備在一塊面積足夠大的荒地上建一如圖所示的一個矩形綜合性休閑廣場,其總面積為3000平方米,其中場地四周(陰影部分)為通道,通道寬度均為2米,中間的三個矩形區(qū)域?qū)佋O(shè)塑膠地面作為運(yùn)動場地(其中兩個小場地形狀相同),塑膠運(yùn)動場地占地面積為S平方米.
(1)分別寫出用x表示y和S的函數(shù)關(guān)系式(寫出函數(shù)定義域);
(2)怎樣設(shè)計能使S取得最大值,最大值為多少?
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:解答題
已知橢圓的左焦點(diǎn)為
,左、右頂點(diǎn)分別為
,過點(diǎn)
且傾斜角為
的直線
交橢圓于
兩點(diǎn),橢圓
的離心率為
,
.
(1)求橢圓的方程;
(2)若是橢圓上不同兩點(diǎn),
軸,圓
過點(diǎn)
,且橢圓上任意一點(diǎn)都不在圓
內(nèi),則稱圓
為該橢圓的內(nèi)切圓.問橢圓
是否存在過點(diǎn)
的內(nèi)切圓?若存在,求出點(diǎn)
的坐標(biāo);若不存在,說明理由.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:解答題
某通訊公司需要在三角形地帶區(qū)域內(nèi)建造甲、乙兩種通信信號加強(qiáng)中轉(zhuǎn)站,甲中轉(zhuǎn)站建在區(qū)域
內(nèi),乙中轉(zhuǎn)站建在區(qū)域
內(nèi).分界線
固定,且
=
百米,邊界線
始終過點(diǎn)
,邊界線
滿足
.
設(shè)(
)百米,
百米.
(1)試將表示成
的函數(shù),并求出函數(shù)
的解析式;
(2)當(dāng)取何值時?整個中轉(zhuǎn)站的占地面積
最小,并求出其面積的最小值.
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