Question

（14分）設(shè)F₁、F₂分別為橢圓C： =1（a＞b＞0）的左、右兩個(gè)焦點(diǎn).

（1）若橢圓C上的點(diǎn)A（1，）到F₁、F₂兩點(diǎn)的距離之和等于4，寫出橢圓C的方程和焦點(diǎn)坐標(biāo)；

（2）設(shè)點(diǎn)K是（1）中所得橢圓上的動點(diǎn)，求線段F₁K的中點(diǎn)的軌跡方程；

（3）已知橢圓具有性質(zhì)：若M、N是橢圓C上關(guān)于原點(diǎn)對稱的兩個(gè)點(diǎn)，點(diǎn)P是橢圓上任意一點(diǎn)，當(dāng)直線PM、PN的斜率都存在，并記為k_PM、k_PN時(shí)，那么k_PM與k_PN之積是與點(diǎn)P位置無關(guān)的定值.試對雙曲線寫出具有類似特性的性質(zhì)，并加以證明．

 

Answer 1

【答案】

(1)=1，焦點(diǎn)F₁（－1，0），F(xiàn)₂（1，0）;(2);

(3) 若M、N是雙曲線：=1上關(guān)于原點(diǎn)對稱的兩個(gè)點(diǎn)，點(diǎn)P是雙曲線上任意一點(diǎn)，當(dāng)直線PM、PN的斜率都存在，并記為k_PM、k_PN時(shí)，那么k_PM與k_PN之積是與點(diǎn)P位置無關(guān)的定值.證明見解析。

【解析】本題考查橢圓的基本知識，求動點(diǎn)軌跡的常用方法.

解：（1）橢圓C的焦點(diǎn)在x軸上，由橢圓上的點(diǎn)A到F₁、F₂兩點(diǎn)的距離之和是4，得2a=4，即a=2.又點(diǎn)A（1，）在橢圓上，因此=1得b²=3，于是c²=1.

所以橢圓C的方程為=1，焦點(diǎn)F₁（－1，0），F(xiàn)₂（1，0）.

（2）設(shè)橢圓C上的動點(diǎn)為K（x₁，y₁），線段F₁K的中點(diǎn)Q（x，y）滿足：

， 即x₁=2x+1，y₁=2y.

因此=1.即為所求的軌跡方程.

（3）類似的性質(zhì)為：若M、N是雙曲線：=1上關(guān)于原點(diǎn)對稱的兩個(gè)點(diǎn)，點(diǎn)P是雙曲線上任意一點(diǎn)，當(dāng)直線PM、PN的斜率都存在，并記為k_PM、k_PN時(shí)，那么k_PM與k_PN之積是與點(diǎn)P位置無關(guān)的定值.

設(shè)點(diǎn)M的坐標(biāo)為（m，n），則點(diǎn)N的坐標(biāo)為（－m，－n），其中=1.

又設(shè)點(diǎn)P的坐標(biāo)為（x，y），由，

得k_PM·k_PN=，將m²－b²代入得k_PM·k_PN=.

思路拓展：（1）求橢圓的方程，主要運(yùn)用橢圓的幾何性質(zhì)；

（2）求軌跡方程，運(yùn)用的求動點(diǎn)軌跡的常用方法之一—相關(guān)點(diǎn)法.

（3）問對考生的邏輯思維能力、分析和解決問題的能力及運(yùn)算能力都有較高的要求，根據(jù)提供的信息，讓考生通過類比自己找到所證問題，這是高考數(shù)學(xué)命題的方向，應(yīng)引起注意。