Question

數(shù)列{a_n}的前n項(xiàng)和記為S_n，已知a₁＝1，a_n+1＝S_n(n＝1，2，3，…)，求證：

(1)數(shù)列{}是等比數(shù)列；

(2)S_n+1＝4a_n．

Answer 1

答案：
解析：

　　證明：(1)a_n+1＝S_n+1－S_n，a_n+1＝S_n，

　　∴(n＋2)S_n＝n(S_n+1－S_n)．

　　整理得nS_n+1＝2(n＋1)S_n，

　　∴＝2．

　　故{}是以2為公比的等比數(shù)列．

　　(2)由(1)知＝4(n≥2)，

　　于是S_n+1＝4(n＋1)＝4a_n(n≥2)．

　　又a₂＝3S₁＝3，故S₁＝a₁＋a₂＝4，因此對(duì)于任意整數(shù)n≥1，都有S_n+1＝4a_n．

　　評(píng)注：本題求證的結(jié)論含有S_n，一般先用公式a_n+1＝S_n+1－S_n把題中所給的關(guān)系式轉(zhuǎn)化為含S_n的遞推關(guān)系式，這是本題的一個(gè)靈活之處，考查了同學(xué)們靈活運(yùn)用所學(xué)知識(shí)的能力，而第二問又考查了分析問題和邏輯推理的能力．