已知數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和為Sn,且Sn=n2+2n,
(1)求數(shù)列{an}的通項(xiàng)公式;
(2)令bn=
1
Sn
,且數(shù)列{bn}的前n項(xiàng)和為Tn,求Tn;
(3)若數(shù)列{cn}滿足條件:cn+1=acn+2n,又c1=3,是否存在實(shí)數(shù)λ,使得數(shù)列{
cn
2n
}為等差數(shù)列?
考點(diǎn):數(shù)列的求和,等差關(guān)系的確定
專題:等差數(shù)列與等比數(shù)列
分析:(1)利用公式an=
S1,n=1
Sn-Sn-1,n≥2
,能求出數(shù)列{an}的通項(xiàng)公式.
(2)bn=
1
Sn
=
1
n(n+2)
=
1
2
(
1
n
-
1
n+2
)
,由此利用裂項(xiàng)求和法能求出數(shù)列{bn}的前n項(xiàng)和.
(3)假設(shè)存在這樣的實(shí)數(shù),滿足條件,由
3+λ
2
9+λ
4
,
23+λ
8
成等差數(shù)列,求出λ=1,此時(shí)數(shù)列{
cn+1
2n
}是一個(gè)等差數(shù)列.
解答: 解:(1)∵數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和為Sn,且Sn=n2+2n,
n=1時(shí),a1=S1=3,
n≥2時(shí),an=Sn-Sn-1=(n2+2n)-[(n-1)2+2(n-1)]=2n+1,
n=1時(shí)也成立,
∴an=2n+1.
(2)bn=
1
Sn
=
1
n(n+2)
=
1
2
(
1
n
-
1
n+2
)
,
Tn=
1
2
[(1-
1
3
)+(
1
2
-
1
4
)+(
1
3
-
1
5
)+…(
1
n-2
-
1
n
)+(
1
n-1
-
1
n+1
)+(
1
n
-
1
n+2
)]

=
1
2
(1+
1
2
-
1
n+1
-
1
n+2
)

=
9n2+15n
4(n+1)(n+2)

(3)cn+1=acn+2n,即cn+1=2cn+1+2n,
假設(shè)存在這樣的實(shí)數(shù),滿足條件,
又c1=1,c2=2c1+1+2=9,c3=2c2+1+22=23,
3+λ
2
9+λ
4
,
23+λ
8
成等差數(shù)列,
9+λ
4
=
3+λ
2
+
23+λ
8
,
解得λ=1,此時(shí)
cn+1+1
2n+1
-
cn+1
2n
=
cn+1=1-2(cn+1)
2n

=
cn+1-2cn-1
2n
=
1+2n-1
2n
=
1
2
,
數(shù)列{
cn+1
2n
}是一個(gè)等差數(shù)列,
∴λ=1.
點(diǎn)評(píng):本題考查數(shù)列的通項(xiàng)公式的求法,考查數(shù)列的前n項(xiàng)和的求法,考查使數(shù)列為等差數(shù)列的實(shí)數(shù)是否存在的判斷與求法,解題時(shí)要注意裂項(xiàng)求和法的合理運(yùn)用.
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29 32 30 31 30 28
31 29 33 32 27 28
分別求出甲、乙兩人最大速度數(shù)據(jù)的平均數(shù)、方差,試判斷選誰(shuí)參加該項(xiàng)重大比賽更合適.(備注:參考公式:平均數(shù)
.
x
=
1
n
(x1+x2+…+xn);方差s2=
1
n
[(x1-x)2+(x2-x)2+…+(xn-x)2].)

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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:

已知函數(shù)f(x)=
1
2
x2-
1
3
ax3(a>0)
,函數(shù)g(x)=f(x)+ex(x-1),其導(dǎo)數(shù)為g′(x),若a=e,
(1)求g(x)的單調(diào)區(qū)間;
(2)求證:x>0時(shí),不等式g′(x)≥1+lnx恒成立.

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已知函數(shù)f(x)=
1+lnx
x

(1)若函數(shù)f(x)在區(qū)間(a,a+1)上有極值,求實(shí)數(shù)a的取值范圍
(2)當(dāng)n∈N*,n≥2時(shí),求證:nf(n)<2+
1
2
+
1
3
+…+
1
n-1
(提示:證明ln(1+x)<x,(x>0))

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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:

各項(xiàng)均為正數(shù)的數(shù)列{an}中,a1=1,Sn是數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和,對(duì)任意n∈N*,有2Sn=2an2+an-1.
(1)求數(shù)列{an}的通項(xiàng)公式;
(2)記bn=
4Sn
n+3
•2n,求數(shù)列{bn}的前n項(xiàng)和Tn

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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:

已知函數(shù)f(x)=x3+ax2+b在x=1處的切線方程為y=x+1.
①求a,b的值;
②求函數(shù)f(x)在區(qū)間[-1,
1
2
]上的值域.

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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:

已知數(shù)列{an}的各項(xiàng)均為正數(shù),其前n項(xiàng)和為Sn,且an=2
Sn
-1,n∈N*,數(shù)列b1,b2-b1,b3-b2,…,bn-bn-1(n≥2)是首項(xiàng)和公比均為
1
2
的等比數(shù)列.
(1)求證數(shù)列{Sn}是等差數(shù)列;
(2)若cn=anbn,求數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和Tn

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對(duì)于定義域?yàn)镈的函數(shù)y=f(x),若同時(shí)滿足:①f(x)在D內(nèi)單調(diào)遞增或單調(diào)遞減;②存在區(qū)間[a,b]⊆D,使f(x)在[a,b]上的值域?yàn)閇a,b];那么把函數(shù)y=f(x)(x∈D)叫做閉函數(shù).
(1)求閉函數(shù)y=x 
1
3
符合條件②的區(qū)間[a,b];
(2)若y=2+
x-k
是閉函數(shù),求實(shí)數(shù)k的取值范圍.

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