Question

已知函數(shù)f（x）=e^x-ln（x+1）
（1）求f（x）最小值；
（2）已知：0≤x₁＜x₂，求證：；
（3）f（x）圖象上三點(diǎn)A、B、C，它們對應(yīng)橫坐標(biāo)為x₁，x₂，x₃，且x₁，x₂，x₃為公差為1 等差數(shù)列，且均大于0，比較|AB|和|BC|長大�。�

Answer 1

【答案】分析：（1）求出函數(shù)f（x）的導(dǎo)數(shù)，根據(jù)導(dǎo)數(shù)的符號判斷函數(shù)的單調(diào)區(qū)間，再由單調(diào)性求出函數(shù)的最小值．
（2）由（1）可得：f（x）≥1，故有 e^x＞1+ln（x+1）（x＞0）．根據(jù) （x₂-x₁+1）＞ 可得＞，故只需比較x₂-x₁+1與大小．再根據(jù)x₁＞0，可得 ，故結(jié)論成立．
（3）先求出|AB|²和|BC|²的解析式，比較|AB|和|BC|大小，只需比較y₂-y₁和y₃-y₂大小即可．作差并利用基本不等式可得y₂-y₁＜y₃-y₂，從而|AB|＜|BC|成立．
解答：解：（1），x＞0時(shí)f′（x）＞0，-1＜x＜0時(shí)f′（x）＜0，
故f（x）在x=0時(shí)，f（x）取最小值為f（0）=1．（4分）
（2）由（1）可得：f（x）≥1，故：e^x＞1+ln（x+1）（x＞0）．∵（x₂-x₁+1）-=＞0，故 （x₂-x₁+1）＞．
故 ＞，
只需比較x₂-x₁+1與大小．
∵x₁＞0，∴，故結(jié)論成立．  （9分）
（3）∵，，
又∵f（x）在x＞0為增函數(shù)，∴y₂＞y₁，y₃＞y₂．
∴比較|AB|和|BC|大小，只需比較y₂-y₁和y₃-y₂大小即可．

=．
∵，故
∴y₂-y₁＜y₃-y₂，∴|AB|＜|BC|．（14分）
點(diǎn)評：本題主要考查等差數(shù)列的定義和性質(zhì)，用放縮法證明不等式，以及利用導(dǎo)數(shù)求函數(shù)在閉區(qū)間上的最值，體現(xiàn)了化歸與轉(zhuǎn)化的數(shù)學(xué)思想方法，屬于難題．