Question

以拋物線y²=4x的焦點(diǎn)為右焦點(diǎn)的橢圓，上頂點(diǎn)為B₂，右頂點(diǎn)為A₂，左、右焦點(diǎn)為F₁、F₂，且|

F1B2

|cos∠B₂F₁F₂=

3

3

|

OB2

|，過點(diǎn)D（0，2）的直線l，斜率為k（k＞0），l與橢圓交于M，N兩點(diǎn)．
（1）求橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程；
（2）若M，N的中點(diǎn)為H，且

OH

∥

A2B2

，求出斜率k的值；
（3）在x軸上是否存在點(diǎn)Q（m，0），使得以QM，QN為鄰邊的四邊形是個菱形？如果存在，求出m的范圍；否則，請說明理由．

Answer 1

考點(diǎn)：直線與圓錐曲線的綜合問題

專題：綜合題,圓錐曲線的定義、性質(zhì)與方程

分析：（1）由拋物線y²=4x的焦點(diǎn)，求出橢圓的焦點(diǎn)，利用|

F1B2

|cos∠B₂F₁F₂=

3

3

|

OB2

|，求出b，從而可求a，即可求橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程；
（2）設(shè)l：y=kx+2（k＞0），代入橢圓方程，求出H的坐標(biāo)，利用

OH

∥

A2B2

，即可求出斜率k的值；
（3）設(shè)在x軸上存在點(diǎn)Q（m，0），使得以QM，QN為鄰邊的四邊形是個菱形，則HQ⊥MN，可得m=-

2k

4k2+3

，利用基本不等式，即可求出m的范圍．

解答： 解：（1）拋物線y²=4x的焦點(diǎn)為（1，0），∴橢圓中c=1，
∵|

F1B2

|cos∠B₂F₁F₂=

3

3

|

OB2

|，
∴b=

3

c=

3

，
∴a=2，
∴橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為

x2

4

+

y2

3

=1；
（2）設(shè)l：y=kx+2（k＞0），M（x₁，y₁），N（x₂，y₂），
直線代入橢圓方程得（4k²+3）x²+16kx+4=0，
∴△=12k²-3＞0，
∵k＞0，∴k＞

1

2

，
且x₁+x₂=

-16k

4k2+3

，x₁x₂=

4

4k2+3

，
∴MN的中點(diǎn)H（

-8k

4k2+3

，

6

4k2+3

），
∵

OH

∥

A2B2

，
∴

6 4k2+3

-8k 4k2+3

=

3 -0

0-2

，
∴k=

3

2

＞

1

2

，
∴k=

3

2

；
（3）設(shè)在x軸上存在點(diǎn)Q（m，0），使得以QM，QN為鄰邊的四邊形是個菱形，則HQ⊥MN，
∴

6 4k2+3 -0

-8k 4k2+3 -m

•k=-1，
∴m=-

2k

4k2+3

=-

2

4k+ 3 k

≥-

2

2 4k• 3 k

=-

3

6

，
當(dāng)且僅當(dāng)4k=

3

k

，即k=

3

2

時取等號，
又m=-

2k

4k2+3

＜0，
∴在x軸上存在點(diǎn)Q（m，0），使得以QM，QN為鄰邊的四邊形是個菱形，m范圍是[-

3

6

，0）．

點(diǎn)評：本題考查橢圓的方程，考查直線與橢圓的位置關(guān)系，考查向量知識的運(yùn)用，考查基本不等式，屬于中檔題．