Question

已知函數(shù)f（x）=cos（2x+）+sin²x．
（Ⅰ） 求函數(shù)f（x）的最大值；
（Ⅱ） 若△ABC的三邊a，b，c所對的角分別為A，B，C，且C為銳角，f（）=-，c=，a+b=3，求△ABC的面積．

Answer 1

【答案】分析：（I）將函數(shù)表達(dá)式展開，結(jié)合三角函數(shù)降次公式合并，可得f（x）=-sin2x+，由此不難得到函數(shù)f（x）的最大值；
（II）由f（）=-，可算出sinC=結(jié)合C為銳角得C=，再利用三角形的余弦定理結(jié)合題中給出的數(shù)據(jù)，算出ab=2，最后可用正弦定理的面積公式求出△ABC的面積．
解答：解：（Ⅰ）f（x）=cos（2x+）+sin²x=cos2x-sin2x+（1-cos2x）=-sin2x+…（3分）
∴當(dāng)2x=-+2kπ時，即x=kπ-（k∈Z）時，函數(shù)f（x）=的最大值是-+…（6分）
（Ⅱ）由（Ⅰ）知f（）=-sinC+=-，可得sinC=
∵C為銳角，∴C=…（8分）
又∵c²=a²+b²-2abcosC，a²+b²=（a+b）²-2ab
∴3=3²-2ab（1+cosC）=9-3ab，∴ab=2      …（10分）
∴△ABC的面積S=absinC=．…（12分）
點評：本題給出三角函數(shù)表達(dá)式，要求我們化簡、求函數(shù)的最大值，并依此解三角形，著重考查了余弦定理、三角函數(shù)的降次公式和輔助角公式等知識，屬于基礎(chǔ)題．