Question

已知函數(shù)f(x)=ln(1+x)－.

(1)求f(x)的極小值;   (2)若a、b>0,求證:lna－lnb≥1－.

 

Answer 1

【答案】

(1) 0.  (2) f(x)≥f(0)=0,從而ln(1+x)≥在x>－1時(shí)恒成立.令1+x=>0,則=1－=1－,于是lna－lnb=ln≥1－,即lna－lnb≥1－在a>0,b>0時(shí)成立.

【解析】

試題分析：(1) f(x)=ln(1+x)－,求導(dǎo)數(shù)得

f′(x)=,而f(x)的定義域x>－1,在x>0時(shí),f′(x)>0;在－1<x<0時(shí),f′(x)<0.

∴在x=0時(shí),f(x)取得極小值f(0)=0.                                        6分

(2)證明:在x=0時(shí),f(x)取得極小值,而且是最小值,于是f(x)≥f(0)=0,從而ln(1+x)≥在x>－1時(shí)恒成立.

令1+x=>0,則=1－=1－,

于是lna－lnb=ln≥1－,

因此lna－lnb≥1－在a>0,b>0時(shí)成立.                                   12分

考點(diǎn)：本題考查了導(dǎo)數(shù)的運(yùn)用

點(diǎn)評(píng)：導(dǎo)數(shù)本身是個(gè)解決問題的工具，是高考必考內(nèi)容之一，高考往往結(jié)合函數(shù)甚至是實(shí)際問題考查導(dǎo)數(shù)的應(yīng)用，求單調(diào)、最值、完成證明等，請(qǐng)注意歸納常規(guī)方法和常見注意點(diǎn)．