Question

在數(shù)列{a_n}中，a₁=1，a₂=2，且a_n+1=（1+q）a_n-qa_n-1（n≥2，q≠0）．
（1）設(shè)b_n=a_n+1-a_n（n∈N^*），證明{b_n}是等比數(shù)列；
（2）求數(shù)列{a_n}的通項(xiàng)公式．

Answer 1

分析：（1）先整理出所給的遞推式，向要求的數(shù)列表現(xiàn)形式方向整理，結(jié)果發(fā)現(xiàn)要求數(shù)列的表達(dá)式，數(shù)列后一項(xiàng)與前一項(xiàng)之比是一個(gè)常數(shù)，所以數(shù)列是等比數(shù)列．
（2）由（1）所得的結(jié)論，寫出數(shù)列的通項(xiàng)公式，仿寫一系列式子，用疊加的方法得到通項(xiàng)的表示式，在表示式中出現(xiàn)等比數(shù)列的求和，一定要注意的是，公比與1的關(guān)系．

解答：解：（1）證明：由題設(shè)a_n+1=（1+q）a_n-qa_n-1（n≥2），得
a_n+1-a_n=q（a_n-a_n-1），
即b_n=qb_n-1，n≥2．
又b₁=a₂-a₁=1，q≠0，
所以{b_n}是首項(xiàng)為1，公比為q的等比數(shù)列．
（2）由（1）可得數(shù)列{b_n}的通項(xiàng)公式b_n=q^n-1，
∵b_n=a_n+1-a_n，
∴a_n-a_n-1=q^n-2，
…
a₂-a₁=1，
把上述各式相加，得到a_n-a₁=q^n-2+q^n-3+…+q
∴a_n=

1+ 1-qn-1 1-q ，q≠1 n，q=1

點(diǎn)評(píng)：凡是有關(guān)等比數(shù)列前n項(xiàng)Sn的問題，首先考慮q=1的情況，證明條件不等式時(shí)，正確適時(shí)地應(yīng)用所給的條件是成敗的關(guān)鍵．