【題目】為培養(yǎng)學(xué)生的閱讀習(xí)慣,某校開展了為期一年的“弘揚(yáng)傳統(tǒng)文化,閱讀經(jīng)典名著”活動(dòng). 活動(dòng)后,為了解閱讀情況,學(xué)校統(tǒng)計(jì)了甲、乙兩組各10名學(xué)生的閱讀量(單位:本),統(tǒng)計(jì)結(jié)果用莖葉圖記錄如下,乙組記錄中有一個(gè)數(shù)據(jù)模糊,無法確認(rèn),在圖中以a表示.
(Ⅰ)若甲組閱讀量的平均值大于乙組閱讀量的平均值,求圖中a的所有可能取值;
(Ⅱ)將甲、乙兩組中閱讀量超過15本的學(xué)生稱為“閱讀達(dá)人”. 設(shè),現(xiàn)從所有的“閱讀達(dá)人”里任取2人,求至少有1人來自甲組的概率;
(Ⅲ)記甲組閱讀量的方差為. 若在甲組中增加一個(gè)閱讀量為10的學(xué)生,并記新得到的甲組閱讀量的方差為
,試比較
,
的大小.(結(jié)論不要求證明)
(注:,其中
為數(shù)據(jù)
的平均數(shù))
【答案】(Ⅰ) 或
. (Ⅱ)
(Ⅲ)
【解析】
(Ⅰ)分別求出甲組10名學(xué)生閱讀量的平均值和乙組10名學(xué)生閱讀量的平均值,由此能求出圖中a的取值.
(Ⅱ)記事件“從所有的“閱讀達(dá)人”里任取2人,至少有1人來自甲組”為M.甲組“閱讀達(dá)人”有2人,在此分別記為A1,A2;乙組“閱讀達(dá)人”有3人,在此分別記為B1,B2,B3.從所有的“閱讀達(dá)人”里任取2人,利用列舉法能求出從所有的‘閱讀達(dá)人’里任取2人,至少有1人來自甲組的概率.
(Ⅲ)由莖葉圖直接得.
(Ⅰ)甲組10名學(xué)生閱讀量的平均值為,
乙組10名學(xué)生閱讀量的平均值為.
由題意,得,即
.
故圖中a的取值為或
.
(Ⅱ)記事件“從所有的“閱讀達(dá)人”里任取2人,至少有1人來自甲組”為M.
由圖可知,甲組“閱讀達(dá)人”有2人,在此分別記為,
;乙組“閱讀達(dá)人”有3人,在此分別記為
,
,
.
則從所有的“閱讀達(dá)人”里任取2人,所有可能結(jié)果有10種, 即,
,
,
,
,
,
,
,
,
.
而事件M的結(jié)果有7種,它們是,
,
,
,
,
,
所以.
即從所有的‘閱讀達(dá)人’里任取2人,至少有1人來自甲組的概率為.
(Ⅲ)由莖葉圖直接觀察可得.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】2018年,教育部發(fā)文確定新高考改革正式啟動(dòng),湖南、廣東、湖北等8省市開始實(shí)行新高考制度,從2018年下學(xué)期的高一年級學(xué)生開始實(shí)行.為了適應(yīng)新高考改革,某校組織了一次新高考質(zhì)量測評,在成績統(tǒng)計(jì)分析中,高二某班的數(shù)學(xué)成績的莖葉圖和頻率分布直方圖因故都受到不同程度的損壞,但可見部分如下,據(jù)此解答如下問題:
(1)求該班數(shù)學(xué)成績在的頻率及全班人數(shù);
(2)根據(jù)頻率分布直方圖估計(jì)該班這次測評的數(shù)學(xué)平均分;
(3)若規(guī)定分及其以上為優(yōu)秀,現(xiàn)從該班分?jǐn)?shù)在
分及其以上的試卷中任取
份分析學(xué)生得分情況,求在抽取的
份試卷中至少有
份優(yōu)秀的概率.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】已知拋物線與
軸交于點(diǎn)
,直線
與拋物線
交于點(diǎn)
,
兩點(diǎn).直線
,
分別交橢圓
于點(diǎn)
、
(
,
與
不重合)
(1)求證:;
(2)若,求直線
的斜率
的值;
(3)若為坐標(biāo)原點(diǎn),直線
交橢圓
于
,
,若
,且
,則
是否為定值?若是,求出定值;若不是,請說明理由.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】設(shè)函數(shù),其中
.
(Ⅰ)當(dāng)為偶函數(shù)時(shí),求函數(shù)
的極值;
(Ⅱ)若函數(shù)在區(qū)間
上有兩個(gè)零點(diǎn),求
的取值范圍.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】如圖,設(shè)是由
個(gè)實(shí)數(shù)組成的
行
列的數(shù)表,其中
表示位于第
行第
列的實(shí)數(shù),且
.
定義
為第s行與第t行的積. 若對于任意
(
),都有
,則稱數(shù)表
為完美數(shù)表.
(Ⅰ)當(dāng)時(shí),試寫出一個(gè)符合條件的完美數(shù)表;
(Ⅱ)證明:不存在10行10列的完美數(shù)表;
(Ⅲ)設(shè)為
行
列的完美數(shù)表,且對于任意的
和
,都有
,證明:
.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】已知橢圓:
的長軸長為4,左、右頂點(diǎn)分別為
,經(jīng)過點(diǎn)
的動(dòng)直線與橢圓
相交于不同的兩點(diǎn)
(不與點(diǎn)
重合).
(1)求橢圓的方程及離心率;
(2)求四邊形面積的最大值;
(3)若直線與直線
相交于點(diǎn)
,判斷點(diǎn)
是否位于一條定直線上?若是,寫出該直線的方程. (結(jié)論不要求證明)
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】設(shè)是圓
上的任意一點(diǎn),
是過點(diǎn)
且與
軸垂直的直線,
是直線
與
軸的交點(diǎn),點(diǎn)
在直線
上,且滿足
.當(dāng)點(diǎn)
在圓
上運(yùn)動(dòng)時(shí),記點(diǎn)
的軌跡為曲線
.
(1)求曲線的方程;
(2)已知點(diǎn),過
的直線
交曲線
于
兩點(diǎn),交直線
于點(diǎn)
.判定直線
的斜率是否依次構(gòu)成等差數(shù)列?并說明理由.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】2019年春節(jié)期間,我國高速公路繼續(xù)執(zhí)行“節(jié)假日高速免費(fèi)政策”.某路橋公司為掌握春節(jié)期間車輛出行的高峰情況,在某高速收費(fèi)點(diǎn)處記錄了大年初三上午9:20~10:40這一時(shí)間段內(nèi)通過的車輛數(shù),統(tǒng)計(jì)發(fā)現(xiàn)這一時(shí)間段內(nèi)共有600輛車通過該收費(fèi)點(diǎn),它們通過該收費(fèi)點(diǎn)的時(shí)刻的頻率分布直方圖如圖所示,其中時(shí)間段9:20~9:40記作區(qū)間,9:40~10:00記作
,10:00~10:20記作
,10:20~10:40記作
.比方:10點(diǎn)04分,記作時(shí)刻64.
(1)估計(jì)這600輛車在9:20~10:40時(shí)間段內(nèi)通過該收費(fèi)點(diǎn)的時(shí)刻的平均值(同一組中的數(shù)據(jù)用該組區(qū)間的中點(diǎn)值代表);
(2)為了對數(shù)據(jù)進(jìn)行分析,現(xiàn)采用分層抽樣的方法從這600輛車中抽取10輛,再從這10輛車中隨機(jī)抽取4輛,記為9:20~10:00之間通過的車輛數(shù),求
的分布列與數(shù)學(xué)期望;
(3)由大數(shù)據(jù)分析可知,車輛在春節(jié)期間每天通過該收費(fèi)點(diǎn)的時(shí)刻服從正態(tài)分布
,其中
可用這600輛車在9:20~10:40之間通過該收費(fèi)點(diǎn)的時(shí)刻的平均值近似代替,
可用樣本的方差近似代替(同一組中的數(shù)據(jù)用該組區(qū)間的中點(diǎn)值代表),已知大年初五全天共有1000輛車通過該收費(fèi)點(diǎn),估計(jì)在9:46~10:40之間通過的車輛數(shù)(結(jié)果保留到整數(shù)).
參考數(shù)據(jù):若,則
,
,
.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】在平面立角坐標(biāo)系中,過點(diǎn)
的圓的圓心
在
軸上,且與過原點(diǎn)傾斜角為
的直線
相切.
(1)求圓的標(biāo)準(zhǔn)方程;
(2)點(diǎn)在直線
上,過點(diǎn)
作圓
的切線
、
,切點(diǎn)分別為
、
,求經(jīng)過
、
、
、
四點(diǎn)的圓所過的定點(diǎn)的坐標(biāo).
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