Question

已知f（x）是二次函數(shù)，若f（0）=0且f（x+1）-f（x）=x+1，求函數(shù)f（x）的解析式，并求出它在區(qū)間[-1，3]上的最大、最小值．

Answer 1

分析：由于f（0）=0，可設二次函數(shù)f（x）=ax²+bx（a≠0）．利用f（x+1）-f（x）=x+1，可得a（x+1）²+b（x+1）-[ax²+bx]=x+1，
化為（2a-1）x+a+b-1=0．此式對于任意實數(shù)x恒成立，因此

2a-1=0 a+b-1=0

，解出即可．通過配方即可得出其單調(diào)性，進而得出最值．

解答：解：∵f（0）=0，∴可設二次函數(shù)f（x）=ax²+bx（a≠0）．
∵f（x+1）-f（x）=x+1，∴a（x+1）²+b（x+1）-[ax²+bx]=x+1，
化為（2a-1）x+a+b-1=0．
此式對于任意實數(shù)x恒成立，因此

2a-1=0 a+b-1=0

，解得a=b=

1

2

．
∴f(x)=

1

2

x2+

1

2

x．
∵f(x)=

1

2

(x+

1

2

)2-

1

8

．
∴函數(shù)f（x）在區(qū)間[-1，-

1

2

]上單調(diào)遞減，在區(qū)間[-

1

2

，3]上單調(diào)遞增．
∵f（-1）=0，f(-

1

2

)=-

1

8

，f（3）=6．
∴函數(shù)f（x）在區(qū)間[-1，3]上的最大、最小值分別為6，-

1

8

．

點評：熟練掌握二次函數(shù)的單調(diào)性是解題的關鍵．